EXTENSION DE LA SOLUTION DE LAPLACE 1G

el:

rfU3

dl

~ dz-^

Soit maintenant :

U.U^Uj

on aura :

dt ~

dV>^ dt

fu3U

dx''~

dx"-

d^\] dy-~

dy'

dz"- ~ dz

D'où

AU = ^ U,U3 -f- '^ U3U, + '^ u,u,.

On a donc :

dt^'""

avec :

Posons alors :

V =///? (^' -1. ^) U c/i c/-^ rfC

cp étant une fonction arbitraire, et l'intégrale étant étendue à l'espace tout entier.

166 MÉTHODE DE LAPLAGE

Cette fonction V satisfait évidemment à l'équation différentielle, car :

et

AV = r/T? AU (T:, d-ri d^.

Comment doit-on choisir cp pour que V se réduise à f{x^y,z ) , pour t = o?

Posons

On aura :

■r^ = tj + 23 v'^

dl = ^ \!îda.

dr^ = 2 S' r^ dK = 2 \/ldy.

D'où

U = -i-e-f^^' + P' + ï-' et:

V =jTf^'i' [^ -h 2ocV^^ 2/ + 2p v/^-2-+ 2y ^JT] e- («' + P + -('^dxdp df. Faisons t = o dans cette expression. Il faudra (pie l'on ait: /"(•^, y, -ï) = ^fff^ (^' ^1 -) e-'«' + P'-' + ï-') c/a. r/p. rfy.

EXTENSION DE LA SOLUTION DE LAPLAGE 167 L'intégrale peut s'écrire :

On sait que :

/ e-*- d% = Vtt.

On doit donc avoir :

f{x, i/, z) =S v/tt^ o (x, y, z)

ou :

8 Vtt^

L'intégrale de Laplace devient alors :

JJJ H V-^^^

« d^dyid^,

ou bien, en revenant aux premières variables :

l'intégrale étant étendue à l'espace tout entier.