CHAPITRE X

90. Nous allons maintenant aborder un autre problème, celui du mouvement de la chaleur dans une sphère.

Nous supposerons qu'à l'origine des temps la distribution est telle que la température soit fonction seulement de la distance au centre ; par raison de symétrie, il en sera de même à un instant quelconque.

Passons en coordonnées polaires :

X = r sin 0 cos cp y =^ r sin 6 sin cp z := r cos 6.

Nous avons établi, au début du cours, l'équation du mouvement de la chaleur dans ce système de coordonnées :

\-<£i d^ 2^1 r^^V cotg-OrfV 1 d^N

h dt~ dr^ '^ r dr ^ r^ d^'^ "^ r- ie "^ r^ sin^O df' '

D-ans le cas qui nous occupe, cette équation se sinqdifieet

devient :

1 ^ cFV 2 rfV^ k dt dr'^ ' r dr

Nous prendrons comme unité de longueur le rayon de la sphère, et nous choisirons l'unité de temps, de manière que :

fi = 1.

L'équation différentielle devient dans ces conditions :

dt ~ dr'^ + dr'

L'équation à la surface :

dn devient ici:

pour:

h étant un coefficient positif qui dépend du pouvoir émissil de la sphère.

Pour achever de déterminer le problème, il faut se donner, pour t = o, la valeur de la fonction V :

V = rir).