Pour simplifier l'équation différentielle, posons

170 REFROIDISSExMENT DE LA SPHERE

On a:

dr r dr r'^

d^M 1 d^\5 2 rfU 2U dr- r dr''- r- dr ' r'

L'équation devient alors :

cl\l dn]^

dt dr^

Nous remarquons que c'est l'équation à laquelle on était arrivé dans le cas du lil ; mais les équations aux limites ne sont plus les mêmes.

La condition à la surface :

— — v- hy = o dr '

devient

pour :

ou bien

1^ U , AU r dr

dr ^

De plus, pour < = o, on doit avoir :

U = rr[r).

Remarquons que U doit s'annuler pour r = o, car on a : U = Vr et V reste finie.

92. Nous allons a[)pli(|uer la mrthode générale de Fourier, c'est-à-dire chercher un développement de U en une série dont les termes sont des intégrales particulières de Téquation.

(Cherchons, d'abord, à satisfaire à l'équation dilîérenlielle par une fonction de la forme :

u ne dépendant que de r.

En portant dans l'équation différentielle :

dU cP{] dl ~ dr^ on a :

Donc u est de la forme :

A cos u.r -[- B sin ar.

Pour que U et, par suite, u s'annulent pour r = o, on doit avoir :

Dans ces conditions, nous pouvons supposer:

et nous aurons la solution particulière :

U = e~^''' sin u.r.

Il reste à satisfaire à la condition limite :

pour :

Cette condition devient ici :

(A cosfi. = (1 — h) sin^t., ou, en posant:

tgp. = A u..

93. Si [j. satisfait à cette équation transcendante, U sera une intégrale particulière.

Nous sommes donc amenés à discuter cette équation transcendante.

Il est évident que ses racines sont deux à deux égales et de signes contraires ; il suffit donc de considérer les racines positives.

Construisons les deux courbes :

Il est, d'abord, évident que la droite :

coupe chacune des branches de courbe en un point au moins [/îg. 23).

Cherchons si elle peut couper une des branches en plus dun point.

Laissons, d'abord, de côté la branche qui passe par l'ori-

t'J'UL

gine ; il faut voir si le rapport -^-'- peut passer plusieurs fois

par la même valeur quand u. varie de -2A — 1) | à {"ik -f 1^ j-

Si cela a lieu, la dérivée s'annulera au moins une Ibis dans l'intervalle.

FiG. 2o.

La dérivée logarithmique de ce rapport est :

COS [j. j^ sin a sin a "" COS a

Pour que cette dérivée s'annule, il faudrait que l'on eût

sin2[jL = 2uL.

ce qui ne peut avoir lieu dans l'intervalle considéré. Donc il y a une racine, et une seule, entre :