Reste à examiner l'intervalle de o à

La racine [j. = o est évidente.

tS" IX Il faut suivre les variations du rapport -^^^^ dans cet intérim valle.

On a pour jj. = o :

et pour [jt = - le rapport est infini.

Or, il ne peut y avoir ni maximum ni minimum dans l'intervalle ; donc le rapport va sans cesse en croissant. Si donc on a :

il y a une racine dans l'intervalle f 0, - j ; et si :

il n'y en a pas.

95. Nous allons chercher si l'équation transcendante que nous étudions possède des racines imaginaires.

Nous distinguerons les racines complexes et les racines purement imaginaires.

Nous allons démontrer, d'abord, qu'il n'y a pas de racines complexes, et pour cela nous emploierons une formule qui nous sera utile dans la suite du cours.

Considérons deux solutions U, et Ug :

U, = e-y--'^ sin ar U2 = e~y-^' sin u.r

et prenons l'intégrale :

Cette expression est nulle, car U, et U^ s'annulent pour r = o ; et pour .r = 1 on a :

' dr dr

Or, on peut écrire l'intégrale sous une autre forme, en remarquant que :

dr- 2

On voit qu'elle peut s'écrire :

(a2 - p.2) rb.Ua dr.

Comme cette expression doit être nulle on voit que si :

on a :

ru,u2f//- = o.

Supposons que l'équation transcen dante possède une racine imaginaire x -j- Si; elle possède aussi la racine conjuguée (X — s?'. Les fonctions U, et Uo correspondant à ces deux racines seront des fonctions imaginaires conjuguées, et, par

conséquent, leur produit est positif. En outre :

[Jt.2 — [;.., = Axpi, i 2"

quantité différente de zéro, puisque la racine est supposée complexe. Or, l'intégrale :

dont Télément est, dans ce cas, positif, ne peut être nulle. Donc l'équation ne peut pas avoir de racines de la forme

96. Peut-elle avoir des racines imaginaires pures de la forme ^i.

Si cela a lieu, elle admet aussi la racine — ^i\ et, dans ces

conditions, -^^ est réelle, car son imaginaire conjuguée lui

est égale.

Or:

le-P — e[i tgîS = T — z — ; z'

Il faut voir comment varie le rapport -^ quand [i croit de o à 00.

Pour fl =: o, on a :

Pour S = X , on a :

to = o.

[JL

Il ne peut y avoir dans l'intervalle un maximum ou un

miiiiniuni que si Ton a dans l'intervalle :

sin 2ip = 2i3, ou bien :

ou, en développant les exponentielles:

ce qui n'est pas possible, tous les termes étant positifs.

Donc le rapport décroît constamment et va de 1 à 0.

Pour qu'il y ait des racines purement imaginaires, il faudrait que l'on eût :

Or, A ne peut pas avoir une telle valeur, puisque l'on a :

et que h est positif.

De cette discussion il résulte donc que l'équation transcendante :

tg'y- = Ay.,

n'a jamais ({ue des racines réelles.