Revenons à la fonction

où lesP sont des polynômes de degré >n,, m,, ..., w„, et où les X sont des quantités réelles rangées par ordre de grandeur croissante.

Je dis que, si z croît indéfiniment, sa partie imaginaire restant positive, la valeur asymptolique de f{zi est :

A^2"'l étant la valeur asymptotique de P^, et que le rapport :

tend uniformément vers l'unité.

En effet, on a :

^-) = -i^ ^ ^2 gi(a,-z.)z |

A,2"'ie'*r A,3"'i A,2"'i " '

le premier terme tend uniformément vers l'unité. Il en est

de même du facteur -r — ^ dans le second terme. Quant au fac-

teur :

il tend uniformément vers zéro, puisque l'on a :

19i2 METHODE DE CAUGHY

Donc le second terme tend uniformément vers zéro, ainsi que tous les suivants.

Donc le rapport :

tend uniformément vers l'unité.

On a donc l'égalité asymptotique : (^)

Dans le cas où z croît indéfiniment, sa partie imaginaire restant négative , on aurait de même :

f[z) rv) A„3-"'« e'^n-

Dans un cas, comme dans l'autre, l'exposant a qui donne la valeur asymptotique sera appelé exposant caractéristique.

Supposons que l'on considère deux fonctions f\ [z] et f.^ [z) de la forme de celles que nous venons d'étudier ; quelle sera la valeur asymptotique de leur somme ?

Si la partie imaginaire y est positive, la valeur' asymptotique correspond à la plus petite valeur de l'exposant caractéristique a dans les deux fonctions.

Le contraire a lieu si y est négatif.

(') Nous employons le signe c\j pour indiquer nne égalité asymptotique.