Considérons maintenant
^{z) = j /'{x) e'"^ dx
\ous supposons (\\xef[x) est une fonction quelconque, mais finie, et satisfaisant à la condition de Diricldet; en outre, a et b sont deux quantités réelles, et l'on a :
^[z) sera, comme on l'a vu, une fonction entière; nous voulons chercher la valeur asymptotique de cette fonction.
Si, d'abord, f-x) est égale à une constante A, on pourra effectuer l'intégration, et on aura :
PKOP.VGATIOX DK t. A CH.VLELK. 13
Si la partie imaginaire y de z est positive, la valeur asymptotique sera :
iz
Si, au contraire, y est négatif, elle sera:
gtzd
iZ
Dans le cas général, soit :
Ar=/-(a-j-£)
f{a -f- s) étant la limite de f {x) lorsque x tend vers a par valeurs supérieures à a.
Supposons d'abord y > o.
Je dis que la valeur asymptotique de ^ 'yz) sera :
' iz
En effet, nous pouvons poser:
f [x) tendra vers zéro lorsque x tond vers a.
On peut choisir un nombre positif a, tel que, lorsque l'on a :
on ait, en même temps :
[JL tendant vers zéro en même temps que a.
De plus, comme la fonction est finie, on aura pour les
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valeurs de x supérieures à [a -f- a) :
I r^ (^) KM On aura d'ailleurs :
<^{z) = fke'^^ dx + Cf^ {x) c'-^
dx
Nous allons montrer que l'erreur commise en négligeant ce dernier terme tend vers zéro, quand z croît indéfiniment. On a en effet :
//■, {x) e'~^ dx < fu.e-r'= dx -f- fUe-r*^ dx
Comme, dans le second membre, les fonctions sous le signe / sont essentiellement positives, on peut écrire :
/ f^ [x] e'--^ dx < -xe-ï'^ dx + / Mfj-ï-^ dx Le second membre est égal à :
Cette (|uantité est donc une limite supérieure de la valeur absolue de l'erreur commise.
L'erreur relative s'obtiendra en divisant cette quantité par le module de la valeur asymptotique de la fonction ;
A / e''-^ dx »J II
qui est:
L'erreur relative est donc :
et, comme on a :
Y =: p sin co
cette erreur peut s'écrire :
A sino) A sin Si co est un ang'le tel que :
l'expression ci-dessus sera inférieure à :
A sin Wq
expression indépendante de co.
Je dis qu'elle tend vers zéro; en effet, on peut prendre d'abord a assez petit pour que l'on ait :
!^- < 2 et ensuite p assez grand pour que :
Me-P"^'"'"" < -
La valeur asymptotique de cp [z] est donc
^ ' xz
DES INTÉGRALES DEFINIES 197
Si l'on avait eu y < o, on aurait eu de la mOme manière :
fib — e^ . .
106. On peut étendre ces résultats à une intégrale de même forme :
ff [x] e'=^ cJx,
l'intégrale étant prise le lung' d'un chemin L de longueur finie ; à la condition que, en tous les points du chemin, on ait :
a étant l'origine du chemin L.
On démontrera que la valeur asymptotique est encore dans ce cas :
IZ
en supposant :
Pour cela, on décomposera le chemin d'intégration en deux autres, comme précédemment, en prenant un point (a -|- a) infiniment voisin du point «, et en continuant les raisonnements de la même manière.
