CHAPITRE II

15. Nous allons établir les équations du mouvement de la chaleur dans un corps.

Considérons un parallélipipède élémentaire ayant ses arêtes

FiG. 1.

parallèles aux axes et ayant pour dimensions dx, dy^ dz {fig. 7).

Nous allons évaluer de deux manières la quantité de chaleur qui entre dans ce parallélipipède.

Le flux de chaleur à travers ABCD, qui est perpendiculaire

18 ÉQUATION DU MOUVEMENT DE LA CHALEUR a Oi», est :

— K dydz. di.—j-

Le flux de chaleur à travers A'B'C'D' est :

rfyrf.*[Kg+£(K£)rf..] La somme de ces deux flux est donc :

dxdydz. dt. -r- (¥^ —r- )

dx \ dx J

De même, pour les deux autres couples de faces, on aura: dxdydz dt ^^

dy \ dy ) dxdy dzdt— ( K — j

La quantité de chaleur qui entre dans le paraléllipipède est par suite :

.,.......,[£(Kg.) + |(Kf) + |(Kg)]

D'autre part, cette quantité de chaleur est égale à :

D.C. dxdy.dzdS

D étant la densité du corps, C sa chaleur spécifique. En égalant ces deux expressions, on a :

CD — — — Av — ^ -\-—(k —\ -\--(¥.—\ ' dt dx\ dx / ' dy \ dy ) dz \ dz)

Si nous adoptons l'hypothèse de Fourier, K est une constante.

TRANSFORMATION DE COORDONNEES 19

Si nous ne l'adoptons pas, K sera fonction de la température, soit:

dK d\-^

On aura :

dx\ dx j \dx } ~^

etc.

L'équation devient donc :

Dans les applications, nous nous bornerons toujours à l'équation de Fourier qui a une forme linéaire. Nous supposerons doncK' = o, et K constant, de sorte que l'équation sera :

dt CD

Nous négligerons les variations de C et D, et nous pose" rons:

CD-^- L'équation du mouvement de la chaleur est donc :

16. Transformation de coordonnées. — Nous allons voir ce que devient cette équation dans un système de coordonnées quelconques.

Soit :

et prenons ç, t), ^ pour coordonnées nouvelles.

Nous supposerons que nous avons un système triple orthogonal, ce qui est exprimé par les conditions :

dx dx dy dy ^. dz dz

d\ dy\ d\ d-<\ d\ dy\

dx dx j^dy dy ^^ dz dz

d~t] d^ d-q dl, d'f^ dl,

dx dx dy dy dz dz

Posons en outre :

(ir+(iy+(iy=-

On a:

ds^ = dx"' 4- dy^ + dz^ c'est-à-dire :

ds- = «2 dl'^ + 62 £/y,2 -j- c' dl\

Considérons le solide [fig. 8) limité par les 6 surfaces:

l = ?o (ABCD) i =1^ j^dl (A'B'C'D')

-ri = 7)0 (AA'DD') Yi r= -,)„ 4- dr^ (BB'CC)

C = ^0 (AA'BB') ^ - ç^ 4- rf!; (CC'DD')

TRANSFORMATION DE COORDONNEES 21

Le solide ainsi obtenu est assimilable à un petit parallélipipède rectangle en raison de Torthogonalité du système.

Calculons les arêtes. Considérons BB' par exemple.

Les points B et 13' ont pour coordonnées:

FiG. 8.

Donc la longueur de Tarète BB' est :

On voit donc que les dimensions du parallélipipède sont; adl bdri cd^.

Le llux à travers ABCD est :

et l'on a

— Iv «w dl -rdn

doi = bcd-i\ dl, dn = ad\.

Donc le flux est :

— K. ^ d-r^ dX, dt.

Le ilux à travers A'B'C'D' est

22 ÉQUATION DU MOUVEMENT DE LA CHALEUR La somme algébrique de ces deux flux est :

On obtient des expressions analogues pour les deux autres couples de faces.

En faisant la somme on obtient la quantité de chaleur qui entre dans le parallélipipède :

D'autre part, cette quantité de chaleur est :

CD. abc. d^ dt, dX, dN .

En égalant ces deux expressions et posant :