Coordonnées polaires

X = r cos (p sin 0 y = r sin o sin d 2- = r cosO.

On a:

ds'^ = dr'^ + )''■" s\\\^ 0 (/cp^ -f /•" dïrt r= 1 h ■=: r sin 0 c = r.

Substituons dans l'équation [\) du § 16:

; r- = 2r sin 6 -T- 4- r^ sin 0 -7-:

A 0?^ rf>" «'•

+ ^7 "TT + cos 0 -— + Sin 0 — ^

ou :

ld\ ld\ d^ . i '^m 4 ct>tg- 9 d\ 1 Q?=^V

 f/< ~ r dr ^ rf?'2 + ,,2 si,^2 Q f/3j2 -+- ,.2 ^f) -r fi (if)2

19. Reprenons l'équation de la chaleur dans le cas des coordonnées cartésiennes :

— - = ^Av dt

Considérons un corps C à l'intérieur d'une enceinte rem-

plie d'un fluide à la température Vq. Le corps perd de la chaleur par sa surface de deux manières :

1° Par rayonnement; si l'on admet la loi de Newton, il perd une quantité de chaleur proportionnelle à V — Vq ;

2° Par convection ; on admet que la quantité de chaleur perdue de cette manière est aussi proportionnelle à V — Vq.

De telle sorte que la quantité de chaleur perdue par un élément cIm de la surface est :

H dio dl (V — Vo)

H étant une constante déterminée pour chaque élément c^co.

Considérons sur la surface un élément ah de surface diù [fig. 9). Par chaque point de l'élément menons la normale à la surface S vers l'intérieur du corps, et portons sur chacune de ces normales une longueur constante e infiniment petite.

On détermine ainsi un élément dh' égal et parallèle à ah.

Nous supposerons e infiniment petit par rapport aux dimensions linéaires de diù ; comme nous l'avons déjà fait, évaluons de deux manières différentes la quantité de chaleur gagnée par le petit cyclindre dans le temps dt.

La quantité de chaleur gagnée par ah est :

— Vidi^dt (V — Vo) La quantité de chaleur qui entre par a'è'est:

— h dui dt —rdn