Revenons à la fonction

cp [z] = ff{x) e'-^ dx

où a et b sont réels, et supposons que dans le voisinage de :

la fonction fix) soit développable suivant les puissances

de [x — a) :

f{x) = k[x — aY ■\- A, [x — af-x -\- ...

le développement pouvant contenir des puissances nég-atives ou fractionnaires.

On sait que Ton a :

/lOO x"e~^ dx = r [n -f-

ou bien, en changeant x en zx:

e-=-»- dx =: - ' '

Posons :

ni:

X = ue 2.

Cette formule deviendra :

En remplaçant maintenant k par [x — n) :

rf \« ,>v 1 r (n + 1) («+<)'! ,-,.

\ {x — a)" e'-'^ dx = - -^^.7" e ^ e'"-.

Or, on a :

La seconde intégrale sera négligeable devant la première

DES INTE(".RALE8 DEFINIES 19<>

quand :r croîtra indéfiniiiu'iil, sa partie imaginaire restant positive, car l'intégrale :

f(x — a)" e'-'^ dx

est de Tordre de grandeur de 7^7—1» tandis que la première

jiriz

On aura donc :

e sera de l'ordre de

f (ce - a)" e'-^ dx r\j

Nous allons appliquer ces résultats à la fonction :

La valeur asymptotique de z>{2) sera égale à la valeur asymptotique du terme correspondant à la plus petite puissance de {x — a).

On aura donc :

Ceci ne présente aucune difficulté si le développement de f{x) est valable entre a et * ; s'il n'en est pas ainsi, supposons que le développement soit valable seulementde a àc.

L'intégrale / aura une valeur asymptotique qui contiendra un facteur e'^' et, par suite, sera négligeable par rapport à l'intégrale / •

On peut ajouter que le théorème serait encore vrai si Tin-

200 VALEURS ASYMPTOTIQUES DES INTEGR, DEFINIES

tégrale, au lieu d'être prise sur un chemin réel, était prise suivant un chemin imaginaire de longueur finie, pourvu que l'on ait tout le long du chemin :