Application à la fonction J^ de Bessel. — La

fonction Jq peut être exprimée par une intégrale définie :

, , , 1 A'""" dx

Nous allons, d'abord, chercher la valeur asymptotique de J^ lorsque la partie imaginaire de z est positive. On a ici :

Cherchons maintenant la valeur de A. On a:

Développons (1 — x) ^ suivant les puissances croissantes

de(ic+l):

et l'on aura, comme on le voit, en faisant a; = — 1 dans cetie équation :

APPLICATION A LA FONCTION J,) DE BESSEL 201 On a d'ailleurs :

L'application de la formule générale, trouvée plus haut, donne donc ici :

' " ^ yli <z

OU bien, en remarquant que:

Pour avoir la valeur asymptotique, lorsque y est négatif, il suffit de remarquer que, J^ étant une fonction réelle, le changement de i en — 2 et de a? en — ce n'altère pas la valeur de l'intégrale ; ce changement permet de ramener au cas précédent le cas où y est négatif, et Ton voit immédiatement que l'on a :

Jo ^^

109. Si z est réel, il n'y a plus de valeur asymptotique proprement dite; mais nous allons arriver dans ce cas à un résultat nouveau et très important.

Au lieu d'intégrer suivant l'axe réel de — 1 à -j- 1, nous intégrerons suivant une demi-circonférence, ayant pour centre l'origine, et de rayon égal à 1, cette demi-circonférence étant située au-dessus de l'axe réel.

202 VALEURS ASYMPTOTIQUES DES INTÉGR. DEFINIES

Prenons sur cette demi-circonférence un point quelconque a et divisons l'intégrale en deux parties :

^^=\Ui

FiG. 28.

Tout le long de cette demi-circonférence, on a, en supposant que z croisse par valeurs positives :

car, en posant

on a:

et z^ est alors une quantité positive.

On voit donc que, dans l'intégrale H,, la valeur asymptotique sera fournie par la limite — 1, et dans Hj par la limite 1.

APPLICATION A LA FONCTION J^, DE BESSEL 2(K{ On aura donc :