II, «A
Faisons la somme de ces deux valeurs asymptotiques. Soit :
!2 cos K =-
TtZ
On est conduit à dire que K est la valeur asymptotique de J(,, lorsque z croît indéfiniment par valeurs réelles ot positives. Mais on ne veut pas dire par là que l'on a :
lim i> = 1 K
En effet, K s'annule pour des valeurs différentes de celles qui annulent Jq ; le rapport passe donc alternativement par les valeurs 0 et x .
Il faut donc ici donner une autre signification à la valeur asymptotique.
En appelant K, et K^ les valeurs asymptotiques de II» et Ho, on a :
r H, ,. H., , lim rr^ = lim ~ ^ i
Je dis que l'on a :
lim \'z [H^ — K,] n- o.
204 VALEURS ASYMPTOTJQUES DES INTEGR. DEFINIES En effet, on a :
Le premier facteur tend vei-s zéro.
On a de même:
lim \/^ (II2 — Ko) = o.
On a donc:
lim s] z (Jo — K) = o
et c'est ce qu'il faut entendre ici, lorsque l'on dit que K est la valeur asymptotique de J^.
Le môme raisonnement s'ap[)li(|uerait au cas où z croît par valeurs négatives.
11 sulTirait d'intégrer le long d'une demi-circonférence située au-dessous do Taxe réel.
110. Limite supérieure de la fonction cp. — Nous avons étudié, au point de vue des valeurs asymptotiques, la fonction :
dx.
Nous allons maintenant nous préoccuper de chercher une limite supérieure de cette fonction. f[x) est par hypothèse une fonction finie; on peut donc trouver un nombre jNI tel que:
Posons comme précédemment :
.- = fi + /y
et considérons, d'abord, le cas où y est positif.
LLMITE SUPERIEURE DE LA FONCTION o SifXi
Comme ou a ;
on aura
I 'f (^) I < / Me- ï-^ dx
Me-v^ d.T =
Et comme :
on peut écrire :
Nous distinguerons deux cas, suivant que la quantilr positive y est supérieure ou inférieure à la valeur absolue de [i. Supposons d'abord :
c'est-à-dire que l'argument de z est compris entre - et — •
On voit alors facilement que, dans ces conditions, on a:
Donc
on a
i < M vT
az
Cons
dérons maintenant le cas
OÙ
IM
Nous ne pouvons pas appliquer ici le même raisonnement.
On a :
r'' 9 [z) = I f(x) e-r^ e'?"- dx.
206 VALEURS ASYMPTOTIQUES DES INTEGR. DEFINIES Nous allons étudier l'intégrale:
/f[x) sin ^x dx,
/■ [x) étant une fonction positive et décroissante, et c étant une quantité positive quelconque.
Si nous pai-tageons l'intervalle d'intégration en intervalles partiels par les valeurs :
on verra, comme pour l'intégrale de Dirichlet que l'on a une série alternée ; par suite, la valeur de cette série est inférieure au premier terme :
On a donc :
Si l'on considère l'intégrale
/ f{x) cos (^x dx
on emploiera le même raisonnement ; mais, afin d'obtenir des intervalles partiels égaux entre eux, on devra prendre l'intégrale :
€t l'on supposera (jue f[cc) est égale à f[o) pour les valeurs négatives de x.
LIMITE SUPERIEURE DE LA FONCTION 'f 207
Ceci revient à ajouter à l'intc'grale la (|uantité :
On aura une série alternée comme précédemment, et on peut, par suite, écrire :
M- - JL
Donc a fortiovi:
'•■ 1^ ^rio)
On conclut de là :
Prenons maintenant " (en supposant toujours /" décroissante) :
a ai b étant deux quantités réelles, et telles que :
Posons :
L'intéffrale deviendra
rth — a
é'^"- \ fiy ^ a] é'^y cUj.
Donc l'intégrale est plus petite en valeur absolue que :
208 VALEURS ASYMPTOTIQUES DES INTEGR. DEFINIES
112. Appliquons ces résultats à la fonction cp définie plus haut. Comme la fonction f[x), qui figure dans cp, satisfait à la condition de Dirichlet, on a :
f^ et /a étant décroissantes.
D'où:
cp = / Ae-^^ e'P^ dx — / /"aS"^^ e'^^ dx.
En appliquant les résultats établis ci-dessus, on voit qu'il en résulte :
Or, comme l'on a :
on en conclut :
Donc on a:
En résumé, si l'on désigne par H la plus grande des deux quantités :
et:
LIMITE SUPERIEURE DE LA FONCTION f 20î>
on aura, pour toutes les valeurs positives de y
On verrai! de même <[ue. pour les valeurs négatives do y» on a :
l']n eiïet, f^ et f^ étant décroissantes, on aura :
PROPAGATION DK I.A ClIALEI U
