APPLICATION DE LA METHODE DE GAUCHY

Wq étant compris entre zéro et -> et aussi voisin de zéro que l'on voudra.

La première intégrale aura un module moindre que Hw^.

Quant à la seconde, elle tend uniformément vers :

(§ — "oj /"(^

En effet, on peut supposer les rayons des cercles assez grands pour que l'on ait constamment :

\zR{z)-r{x)\ <e On aura alors :

I i l r{x) - «y|-"R (^) cko < I e -f- 0), [Il + 1 rix) I ]

On prendra d'abord co^ assez petit pour que le second terme soit inférieur à toute quantité donnée, et on prendra ensuite le rayon du cercle assez grand pour que e soit aussi plus petit que toute quantité donnée.

La même démonstration s'appliquerait aux trois autres quadrants ; il est donc bien démontré que :

rR(^) dz

tend vers ^i-f(x).

116. 11 résulte de là que fi^) est égale à la somme des résidus de R{z).

Cherchons donc les pôles de K et les résidus correspondants.

Les pôles de R sont les zéros du dénominateur ; si donc u

:216 APPLICATION DE LA METHODE DE GAUGHY représente l'un quelconque d'entre eux, on aura :

Pour calculer le résidu correspondant à ce pôle, remarquons que l'on peut mettre R sous la forme :

Le second terme étant une fonction entière, le résidu de R sera égal au résidu du premier terme, c'est-à-dire à la quantité :

On aura donc:

(1) /■(-) = E '-'" ^',J!+in^fk^ '"' '■■'

La fonction /"(a?) se trouve ainsi développée dans une série procédant suivant les exponentielles e~'\^^; mais, pour que le développement soit valable, il faut que toutes les inégalités écrites plus haut se trouvent vérifiées, et en second lieu qu'on puisse trouver des cercles surlesquelsx:R(2^) reste Unie.

117. Application. — Nous allons donner un exemple particulier. Nous prendrons :

APPLICATION DE LA METHODE DE GAUCHY 217 et, pour cela, nous poserons :

P et Q étant des polyn(")mes entiers du même degré en z.

Pour que les inégalités en question soient vérifiées, il faut, et il suffit que :

— b < ic < h.

On a:

Si on suppose que la partie imaginaire y de ^ est positive, on voit sous cette forme (|ue le numéi-ateur est limité. En effet, on a dans ce cas : -

J (Aj -,

J, no

En substituant ces valeurs dans l'expression de 2Ï{{z), et remarquant que l'on a :

on en conclut que le numérateur a pour valeur asymptotique :

D'autre part, nous avons vu, auxi^Hl et 112, que l'on