APPLICATION DE LA METHODE DE GAUGHY
peut trouver une limite supérieure du rapport d'une fonction entière à sa valeur asymptotique.
Si la quantité y était négative, on aurait mis l'expression zR [z) sous la forme :
ize~'^^ —
et l'on arrive au même résultat en remarquant que : — b ~ X <C o.
Ainsi donc, zR{z) ne peut devenir infini que pour les zéros du dénominateur. Etudions donc ce qui se passe dans le voisinage de ces zéros.
Pour des valeurs suffisamment grandes de z, la fraction
■p diffère peu d'une constante. Donc les zéros du dénominateur seront sensiblement disposés sur une parallèle à o.v et équidistants les uns des autres.
Soit un cercle K ayant pour centre l'origine; nous pouvons prendre le rayon de ce cercle K assez grand pour qu'à l'extérieur de ce cercle on ait :
C étant la limite constante vers laquelle tend le rapport ^ quand z croît indéfiniment.
Les zéros du dénominateur différeront très peu des nombres :
APPLICATION DK I>A METHODE DE GAUGHY "210 OÙ n est un entier quelconque et où :
2 ibZ(^ = loji^ (", ; bz^ = iz
Du point ;3^(^ H~^^< comme centre, avec im vi\\onr<, ^ on peut décrire un petit cercle A-,,; le rayon r sera le même pour tous ces petits cercles, et lous ces pelils cercles ne se couperont pas.
Soit-(]le miiiinium du module do la ("onction :
sur la circonférence du cercle A,. Comme cette fonction est périodique, ■/] sera encore le minimum de son module sur la circonférence d'un quelconque des cercles A,,.
Dans la région du plan extérieure à la fois au cercle K et à tous les cercles â„, on aura donc :
Comme on peut prendre e aussi petit qu'on veut, on pourra supposer £ < ïj ; de sorte que, dans cette région, on aura une limite inférieure du module du dénominateur, et par conséquent une limite supérieure de | zRi.z) | .
On conçoit donc, sans qu'il soit besoin d'insister, que l'on pourra s'arranger de façon que les cercles de rayons croissants c^,C2,..., passent toujours entre deux des cercles A„, de sorte que, le long de ces cercles c,,c 2,..., le module de ^•R(5-) sera limité.
Par conséquent, on pourra, dans ce cas, appliquer la méthode générale et trouver le développement de f{.x) dans l'intervalle de — a &-{- a.
220 APPIJCATrON DE L.\ METHODE DE CAUGHY
118. On pourra, en parliculier, retrouver par cette méthode le développement en série de Fourier.
Pour cela, nous prendrons :
-} = — e-'-'î Les valeurs de a seront données par l'équation :
■ou :
sin [j-iz = 0.
Ce seront donc les nombres entiers positifs et négatifs : ce •qui donne bien la série de Fourier, en remplaçant les expoaientielles par les fonctions trigonométriques.
Nous avons vu que le problème du refroidissement de la rsphère se trouvait ramené au suivant :
Développer la fonction xf{x) définie de 0 à 1 et s'annulant pour M = a suivant les fonctions :
sint/a;, sm [jLO,', , sin [j.a/%
y-, [j., , [JL, étant les racines positives de l'équation
transcendante :
tg a -= Aa.
(>ette équation peut s'écrire :
sin a =: Au. cos \j.
ou bien :
APPLICATION AU REFROIDISSEMENT DE LA SPHÈRE 22fc Nous poserons :
^{z) =z {Mz -f- 1) e-'- ^<(-) = (A«>-1) e-^.
Les quantités ;/. seront racines de l'équation :
D'après ce que nous venons de voir, une fonclinn (juclconque définie entre — 1 et 1 sera développable suivant lesexponentielles e'>-^, et par suite suivant les fondions :
cos uu?' et sin y.r.
Pour appliquer ce résultat au problème qui nous occupe^ nous définirons une fonction F'x) de la manière suivante : On aura pour les valeurs de x comprises entre 0 et l :
F (07) =xf[x)
et, pour a^ compris entre — 1 et U :
¥[x] sera donc une fonction impaire.
Nous allons montrer que, dans ces conditions, la formulegénérale (1) nous donnera pour F 'a') un développement necontenant que les fonctions :
sin tj.x.
Considérons dans ce développement deux termes correspondant à des valeurs de (x égales et de signes contraires-
222 APPLICATION DE LA METHODE DE GAUGHY Ces deux termes sont :
Nous allons montrer que, dans le cas qui nous occupe, les coefficients des deux intégrales sont égaux. En effet, on voit immédiatement que l'on a :
et, par suite, en tenant compte de l'équation :
^( ;j.) -| ^ J jj.) ::= o,
et, de même :
'h {?•) = '^^ (— V)- D'autre part, on voit aisément que :
.f; (;..) = AïV> + f^, (y.).
D'où, en additionnant :
.f (f.) + ^; (...) = 1i [A cos [X - >} ([.)]. Et, par suite :
Les deux coefficients sont donc égaux, et leur valeur commune s'obtient facilement en tenant compte de l'équation :
tg[x = A[x.
Cette valeur est :
2i [A cosV — 1]
Faisons la somme des deux termes considérés. On obtient :
2z [A cos^a — i]J-t ^ "^
= qAcosV-1]//. ■•'^ "'"' " ^^ ~ "'^^ '^^- L'intégrale définie peut alors s'écrire :
[xx / F (y) cos ^y dy -|- sin ij^ / F (y) sin [j.i/ r.'y
^ ,1 cos ixCC
F [y] étant une l'onction impaire, on voit ([ue la première intégrale est nulle, ce qui montre que le développement de f[x) ne contient que des sinus.
