Fonctions harmoniques. Cas du parallélipipède

— Nous allons aborder maintenant le problème général de refroidissement d'un corps quelconque ; mais, ici, nous perdrons en rigueur ce que nous gagnerons en généralité.

Le problème se ramène à la détermination d'une fonction V telle que l'on ait à l'intérieur du solide :

à la surface :

—- 4~ h\ —' o an

et qui, pour / = o, se réduira à :

Nous considérerons toujours h comnit; une constante positive.

FONCTIONS HARMOKIQLES 2-1"'

La solution de celte (juesliou est intinieinent liée à celle du proMèuie suivant :

Trouver une l'onction U [x, y, z) telle que l'on ait à l'intérieur du corps :

AU 4- ^U = o et à la surface :

h étant la même constante que dans le problème précédent, et k une nouvelle constante arbitraire.

Nous allons démontrer l'existence de fonctions satisfaisant à ces conditions, et cpie l'on peut désigner sous le nom do fonctions harmoniques.

121. Supposons, d'abord, qu'il existe deux fonctions [' et L" satisfaisant aux conditions précédentes, mais correspondant k des valeurs différentes A- et k' de la conslante k.

Ap])liquons le théorème de Green à ces deux fonctions :

les intégrales étant étendues à la surface et au volume du corps, et les dérivées étant prises suivant la normale extérieure.

En tenant compte des relations auxquelles satisfont U et U', la formule ci-dessus donne :

fff'fi — k') \}\}' d' = o et, comme k et k' sont supposés différents, on a :

PROPAGATION PF. I.A CIIALELM. 15

226 REFROIDISSEMENT d'uN CORPS SOLIDE QUELCONQUE

Ceci nous montre que les constantes k sont nécessairement réelles.

En effet, si k pouvait être imaginaire, soit U la fonction correspondante, la fonction U' imaginaire conjuguée de U correspondra à la valeur A' conjuguée de h.

Or, l'égalité :