Posons

A=.//u^.,.,,-jjjv:(g)%.

B = / / /U-' dz

fff^'

U étant une fonction quelconque.

Considérons le rapport t^-

Sa valeur ne change pas cjuand on multiplie U par une constante; on peut donc toujours supposer que l'on a:

Nous avons donc à étudier l'expression A. Elle est essentiellement positive et ne pjut s'annuler ; en effet, il faudrait pour cela que chacune des intégrales dont elle est la somme lut nulle.

On aurait donc à la surfac' :

et à l'intérieur:

dU dU fill

dx dy dz ~"

D'où:

U = constante.

Par suite :

dans tout le corps.

Or, ceci est impossible, puisque l'on a :

228 REFROIDISSEMENT d'uN CORPS SOLIDE OUELCONQUE

A, ne pouvant s'annuler, a un certain minimum. Soit U, la fonction qui correspond à ce minimum. Puisque, parmi toutes les fonctions C qui satisfont à l'équation :

la fonction U, est celle qui rend A minimum, il faut que, quelle que soit la variation SU de U,, pourvu qu'elle satisfasse à l'équation :

oB =r o

la variation SA correspondante soit nulle. Donc l'équation :

SA = o

doit être une conséquence de :

SB = o.

On a:

Or, on a, par le théorème de Green :

D'où :

On a, d'autre part :

l BB -//f USU dr.

oA ne contient plus maintenant que la variation 5U. D'après les principes du calcul des variations, si pour U ^ U, l't'quation :

SA = G est une conséquence de

on a nécessairement:

à la surface, et :

/v,U, + AU< =0

à l'intérieur, A, étant un," certaine constante, qui, comme nous allons le montrer, esl égale à la valeur d(,' A correspondant à U^.

En effet, reprenons la valeur de A:

^="/A'^-+/(r[(f'r+(fy+(fyj-

Appliquons le théorème de Green à l'intégrale triple : D'où il vient pour A :

230 REFROIDISSEMENT d'uN CORPS SOLIDE QUELCONQUE OU bien :

La constante k^ est donc égale au minimum de A.

123. Considérons maintenant une fonction F satisfaisant aux conditions suivantes :

= fff^''^ = '

et:

C = /TTfU, ch = o

Parmi toutes les fonctions F satisfaisant à ces conditions, il en existe une qui rend minimum l'expression :

Soit U2 cette fonction. De même que précédemment, il faudra «{ue l'équation :

oA = o

soit une conséquence des deux équations :

On devra donc avoir identiquement :

8A = A-, SB 4- 2/ se Aj et l étant des constantes, c'est-à-dire que l'on aura iden-

tiquement :

Ce qui exige que l'on ait à la surface :

dU.2 , j.,

et à l'intérieur :

AUa + ÂoUa + m, = o.

Nous allons calculer les constantes k.^ et / et montrer, tout d'abord, que l'on a :

l*our cela, appliquons la formule de Green aux fonctions Vt et Ua :

Remplaçons '^'■3-^' AU, et AUo par leurs valeurs; il vient:

{k, - K)fjf^,^2 d^ + ^//y'u? d^ = o.

Or, comme l'on a :

JJ/u.Ua c/t = 0 et:

on en conclut :

23;2 REFROIDISSEMENT d'uX CORPS SOLIDE QUELCONQUE Donc U2 satisfait à l'intérieur à la condition :

AUo + /v^Uo = o.

On verra comme précédemment que k.2 est la valeur de A correspondant à la fonction Uo.

D'après tout ce ({ui précède, on voit immédiatement que l'on a :

124, On définira de même la fond ion U3 qui sera assujettie aux conditions:

D =jJJl],V, ch = o.

Cette fonction U^ satisfera aux deux équations

— -* + Jill, = o an