PARALLÉLIPIPÈDE RECTANGLE

Uy, satisfera aux deux éruiations:

an '

AU^ + /.>U,, :ir o.

La dénionstialioM ([ne nous venons de donner de 1 existence des i'onctions U n'est pas absolunienl riyouieuse. Elle est sujette aux mêmes objections que la démonstration par lacjuelle Riemann a ('tahli le principe de Dirichlft. J'ai, depuis la clôture de ce cours, donné une démonstration plus satisfaisante dans un mémoire intitulé : Sur (es Equations de la Physique Mathématique, et inséré au tome VIII des Rendiconli del Circolo Matemalico di Palenno.

125. Parallélipipède rectangle. — Nous allons déterminer les fonctions U dans le l'as particulier du i)aralli Mpipède rectangle.

Soient :

X =^ ± a y = ±ib

les six plans qui limitent le solide.

Je dis que l'on peut trouver des fonctions U de la forme:

U = sinyÀ,a; -|- ^J.^) sinÇ/..^!/ -\- [-«-aj sin l^z -\- u.^)

On a dans ces conditions:

^ = -xeu

dy'

dz-^

7777 = -ÀiL'

234 REFROIDISSEMENT d'uN CORPS SOLIDE QUELCONQUE

Donc :

AU -I- (Xf + Il + XI) U = o.

Il s'agit de déterminer l^, Àg, X3, [jl^, ij.j, 1x3, de façon à satisfaire aux équations à la surface :

— - 4- AU = o.

dn '

Pour a; = «, on aura :

Il faut donc que l'on ait :

(1) X, cotg(X,« + ^J.^) -j- h = o

Pour X = — a, on a:

d\] d\] TT- * ^ 1 I \

^--,-^=-UA,cotg(-X,a + ^,)

D'où la seconde condition :

(2) X^ coto'(X^a — ;x,) -|- A = o

La comparaison des deux équations (1) et (2) montre que [X, est un multiple de '-:', il suffît de lui donner les valeurs o et -•

Dans le premier cas, la fonction :

sin{l^x-{-lJ.^) se réduit à sinX,a;, et la constante X, satisfait à l'équation: