PARALLÉLIPIPÈDE RECTANGLE

Dans le second cas, on a la fonction : cos)>,'a; X,' étant racine de l'équation:

(4) À,' — h cotgÀ,'a = 0.

On verrait de même que les termes :

sin (/o3/ + u-a) sm[l.,,z + 1x3)

se réduisent respectivement à :

sinÀ,^/ ou cosXol/ sinÀ33' ou cosÀg^

les X satisfaisant à des équations analogues aux équations 3) et (4).

On voit que les fonctions U ainsi définies seront de huit formes différentes, selon qu'elles seront exprimées par un produit de cosinus, par un produit de sinus ou par un produit de sinus et de cosinus.

126. On peut se demander si l'on a bien ainsi toutes les solutions du problème.

Pour le voir, nous allons démontrer qu'une fonction quelconque V de X, y, z, définie à l'intérieur du parallélipipède, peut se développer en une série procédant suivant les fonctions U.

Considérons, d'abord, une fonction de la seule variable x définie entre — a %\. -\- a.

On peut la décomposer en une somme de deux fonctions, dont l'une est paire et l'autre impaire.

-l'.iG REFROIDISSEMENT D UN CORPS SOLIDE QUELCONQUE

La fonction impaire pourra se développer suivant les Jonctions sin >,>r, et cela d'une seule manière, comme on l'a vu ;i propos du refroidissement de la sphère ; l'équation (3) est, en effet, la même que celle que l'on rencontre dans l'étude du refroidissement de la sphère.

On verrait, par un procédé analogue, que la fonction paire peut se développer suivant les fonctions cos a'^x et d'une seule manière ; en effet, l'équation (4) est d'une forme analogue à celle de l'équation (3) et rentre dans la catégorie étudiée aux |5 119 et suivants.

Appliquons ceci à la fonction V {x,y,z), en la considérant d'abord comme fonction de a\ On pourra la développer, et cela d'une seule manière, en une série procédant suivant les fonctions :

sinA,.!' et cosX[^

I,es coefficients de ce développement seront des fonctions de y et ^ définies dans le cliamp :

{— b k -\- h) et ( — c à + c)

On considérera chacun de ces coefficients comme fonction de y, et on les développera suivant les fonctions:

sinXj?/ et cosl!,y

On aura comme coefficients des fonctions de z définies de — c à -|- c, que l'on développera suivant les fonctions :

sinÀ.tS' et cosX/j?

On voit que, dans le cas particulier du parallélipipède rectangle, nous obtenons un développement bien défini de la foiuiion arbitraire \ suivant les fonctions harmoniques U.

PARVLLKLIPIPEDE REClANtiLK :i37

127. Je dis mainlenant ijiie le Jévelo])[)cmenf ainsi obtenu est unique. C'est là une propriété qui n'est [)as spéciale au cas particulier du parallélipipède, mais qui est eniore vraie dans le cas général.

Une fonction ne peut pas être développée de plusieurs manières en série de fonctions harmoniques.

En effet, il suffit de rappeler <[ue nous avons démontre au î; 121 que l'intégrale triple :

ffÇv,x:,<h

étendue à tout le corps solide, est nulle si U,, n'est pas identique à \3q.

Considérons alors le développement :

Multiplions les deux membres par :

et intégrons dans tout le volume. D'après ce qui précède, on a :

fff\\j„ih^'j.„fiym<h.

Cette équation détermine complètement les coeflicients x,,^ ce qui montre que le développement est unique.

138. Revenons maintenant au cas du parallélipipède rectangle, et supposons que V soit une fonction harmonique-

238 REFROIDISSEMENT D UiN CORPS SOLIDE QUELCONQUE satisfaisant aux conditions:

-— -f /?V = o an

à la surface, et :

AV -f AV =: o

à l'intérieur, k étant une certaine constante.

Je dis que cette fonction V doit être identique à l'une des fonctions :

définies au § 125.

D'après le théorème du n° 126. V, comme d'ailleurs une fonction quelconque, peut être développée en une série de la forme :

de sorte que l'on a :

Je dis que V doit être identique à l'un des termes ajU; de ce développement, les autres termes étant nuls.

En effet, s'il n'en était pas ainsi nous aurions deux développements différents d'une même fonction en série de fonctions harmoniques, car V, par hypothèse, de même que a^, Up ag, U2 ... sont des fonctions harmoniques.