GÉNÉRAL DU REFROIDISSEMENT
129. La fonction U satisfait, comme on l'a vu, aux conditions suivantes :
On a à l'intérieur :
AU + AU = o et à la surface :
an
Supposons que l'on fasse varier h.
Lorsque h devient égal à h\ k devient égal à A', et U devient une certaine fonction U', telle que l'on ait:
AU'+ kV'= o à l'intérieur, et :
, + hV = o an '
à la surface.
240 PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS HARxMONlQUES
Appliquons le théorème de Green aux fonctions U et U' :
ce qui donne :
//j j,')ffv\j' cko = ik — k')jyfvu dz.
Si h' esl très voisin de //, U' est très voisin de U, et on aura à la limite :
"" fff"'^'^
dk ce qui montre que -7. est toujours positil.
Si donc, parmi les fonctions U, on en considère une de rang bien déterminé, la valeur correspondante de k est une fonction croissante de h.
130. Limites supérieures des quantités k. — • Nous avons vu que k^ est le minimum du rapport :
quand U varie de toutes les manières possibles.il en résulte que, si on prend pour U une fonction (juelconque, on aura :
LIMITES SUPÉRIEURES DES QUANTITES k 241
Faisons par exemple :
On aura :
S représentant la surlace du corps, et W son volume.
131. Nous allons maintenant chercher d'autres limites pour les quantités :
/i"i, li.,, ... /t,,, ...
Posons :
F,, Fo. ... F„ étant des i'onctions quelconques données à l'intérieur du volume; a,, a^, ... a„des coefficients arbitraires. Posons aussi :
A et B seront des formes quadratiques par rapport aux quantités a ; elles seront, d'ailleurs, d('linies et positives. Formons alors l'expression :
A — XB
À étant une nouvelle indéterminée. Si j'écris que le discriminant de cette forme quadratique est nul, j'obtiendrai une équatioa algébrique en X de degré n, qui admettra n racines :
X|, Àj, ... À«.
l'KOPAGATiDN DK I. A ClIAl.KlIi. 10
D'après la théorie des formes quadratiques, ou voit que, comme A et B sont des formes positives, l'équation en X a ses racines réelles et positives.
Nous allons montrer que, en supposant les racines X,, Xg, ••• X„, rangées par ordre de grandeur croissante, on a :
En effet, on sait qu'il est toujours possible d'effectuer une substitution telle que A et B prennent les formes suivantes :
A = X,Bf + X,8i + ...-{-inn
B = 8? + 8i + ... +-fi^
p^, p.,, ..., S„ étant des combinaisons linéaires et homogènes des a.
On aura dans ces conditions :
Les fonctions F,F2-- F« étant données, si les coofiicients
a varient de toutes les manières possibles, le rapport —
sera compris entre X^ et X„.
Or, le minimum absolu de ce rapport est k^ ; il en résulte que l'on a : A, < X,.
En second lieu, remarquons que, le nombre des a étant n, on peut introduire entre ces cpianlités (n — 1) relations
LIMITES SUPERIEURES DES QUANTITES k -J'i.'J
linéaires ; nous prendi-ons. par exemple, les relations :
et:
On aura alors:
A À.Sf + ... ^A,K' B ?? + ... 4-3/
On voit que ce rapport est toujours inférieur à a^,. Or, !^i nous observons que la fonction F est assujetlie aux eondi-
lions (I . nous verrons que le rapport ^ a pour niinimuiii k,. Cf. n" 124 ; il en résulte donc :
Nous avons donc trouvé ainsi des limites supérieures pour ces quantités k.
132. Nous allons moatrer maintenant qu'on peut trouver des limites inférieures pour ces quantités. Considérons d'abord A, . On a :
On diminuera le second membre en remplaçant:
2i4 PROPRIETES DES FONCTIONS HARMONIQUES
et:
disi par di.'). \ cos s [
cp étant l'angle que fait avec o^ la normale à l'élément c/w. On aura donc :
fff^'] dx dy dz
Nous décomposons le volume en cylindres parallèles à ox
Vu:.. 29.
et de section infiniment petiîe. C.etle scclion esl d'ailleurs
I dx dy I = dM I cos » |
On aura donc:
ffdy dz fÛ\ dx
LIMITES SUPÉRIEURES DES QUANTITES k 245
j: et x" sont les abscisses des points où le cylindre infiniment petit coupe la surlace du corps ;
U,' et U^' sont les valeurs deU,, correspondant à ces deux points.
Ia's intégrales doubles sont étendues à la partie du plan des yz limitée par le contour apparent du corps.
A chaque point de cette aire correspond une certaine valeur du rapport :
rt.c
/u? dx et l'on voit que :
j' j^\dy dz ff^dy dz
a une valeur comprise entre les valeurs extrêmes du rapport :^*
Par suite, si «»ii peut trouver un minimum pour le rapport ^> ce sera a fortiori un minimum pour A,.
Cherchons donc à déterminer lu l'onction U, telle que 1 ou ail :
N = /L'-' dx = 1
et qui rende minimum l'expression :
^^=--\i'^)' dx-{-h[\}'-^^\}-^).
246 PROPRIETES DES FONCTIONS HARMONIQUES Comme on l'a déjà vu, il faudra écrire que :
est une conséquence de :
On a :
1 SM = / ^ ^ dx + h [\]W + U"oLr]
2 / c/x dx
et comme
lO] cm
\dx J., / dx^
on voit que l'équation :
5M =0 s'écrit :
Cette équation doit être une conséquence de :
I 8N = fusU dx = o.
On doit donc avoir :
car, pour que la variation de ^ soit nulle, il faut que l'on ait:
