SM M

LIMITES SUPER IRURKS DES nlAXTITÉS A 247

On aura donc pour U les conditions :

-;— 5" 4- w-U = o (fx-

pour les valeurs de .r comprises entre x' et x".

Ml ''^^

nu — --; ^ o pour x = x

/>V -\- -T' = O pour X = X

dx '

La fonction U sera de la l'orme :

ces m (x — a).

On déterminera les deux constantes m et a par les conditions aux limites. 11 est inulile de l'aire ici le calcul; je me bornerai à observer ([ue le minimum, (|iio nous oJ)iien-

drons ainsi pour j^' est. d'autant plus petit (pie ,/•" — x' est

plus grand.

On voit donc qu'il est possible de déterminer un minimum de la quantité k.

133. On peut de même trouver une limite inférieure de Ag. En supposant, d'abord, h = o, on trouve par une méthode fondée sur le même principe que la précédente :

a étant une certaine constante numérique ; W représentant le volume du corps ; et X, sa plus grande dimension, c'est-àdire la distance maxima de deux points du corps. {American Journal ofMafh., tome XII.)

248 PROPRIETES DES FONCTIONS HARMONIQUES On trouverait également :

^2 > dXi

[Rendiconti ciel Circolo Matematico di Palermo, t. VIII.) Cette formule, démontrée pour h = o, sera vraie, a fortiori, pour h > o, puisque les quantités k croissent en même temps que h.

134. Nous allons montrer que, quelle que soit |la valeur de h, les quantités k croissent indéfiniment avec l'indice n. Posons :

et considérons la forme quadratique :

^="'s(fy"^+"//F^*'

qui peut s'écrire en transformant par la formule de Green /d¥

Et comme on a ici

il vient :

LIMITES SUPERIEURES DES QUAÎsTITKS /.• 249

c'est-à-dire :

^ ^Ifl^"-'^' + ••• + '"'^"'^ '''''^'■*^' + ••• + '■'^''"^"'^

dz

En tenant compte des relations auxquelles satisfont les fonctions U, ceci devient :

A = A^a? + k.^xl 4- + K^l.

On a de même :

D'où:

B = a? + ai + + x2.

On a donc:

B a? + ai + + a2

On en conclut que, quelles que soient les quantités a, on a toujours :

Nous allons maintenant chercher une limite inférieure du rapport r-- Plaçons-nous d'abord dans le cas de h = o.

Divisons le solide donné en in — 1) solides partiels ; nous considérerons chacun d'eux comme un solide de même conductibilité que le solide total, et dont la surface est imperméable à la chaleur.

On aura pour chacun de ces solides :

et, par suite, la fonction U, correspondante sera une constante.

Désignons, d'une manière générale, par k.^i, U^,, les valeurs particulières des expressions k^, U^, relatives au solide partiel de rang i ; et par Aj, B,, les intégrales A et B étendues seulement à ce solide partiel.

Les quantités a étant au nombre de n, on peut les assujettir à (n — 1) relations linéaires quelconques.

J'obtiendrai [n — 1) relations de cette sorte en écrivant que l'intégrale :

IIP

ch

est nulle lorsqu'on Tétend à chacun des [n — 1) solides partiels.

La fonction F ainsi déterminée satisfera à l'équation :

l'intégrale étant étendue au solide partiel de rang i. Cela résulte de ce que U,; est une constante.

Or, on sait que, quand F est assujettie à satisfaire à cette

condition, le minimum de —^ est alors A,/.

Si donc on appelle A 2 la plus petite des quantités Ag,-, on

aura :

En comparant avec l'inégalité obtenue plus haut, on trouve :

fin ^- rtq.

PROBLÈME Dl' REFROIDISSEMENT d'uN CORl'S SM

On peut l'aire la tlécompositinii en [a — 1; solides partiels d'une façon arbitraire, et si n est assez ^rand, on peut opé-

rer de façon que la quantité -t-jt- croisse au-delà de toute

limite pour chacun des solides partiels.

Il en résulte que A„ croît au-delà de toute limite dans le cas de h = o, et, par suite, a fortiori dans le cas de h > o.

135. Solution du problème du refroidissement d'un corps. — Il nous reste à savoir comment on peut résoudre, à l'aide des fonctions \}-. le problème de Fourier.

Il s'ao-it de trouver une fonction V satisfaisant aux condi-

tions :

à rintérieur

à la surface, et

dt

an '

V = Vo ; a-, y, z'\ pour / ^^ o.

Supposons que l'on ait réussi à développer V,, en série procédant suivant les fonctions U,-.

Soit :

Je dis que la solution du problème sera :

V = A,U, e-'ù' + AoUo e-V + ... -f A,X'„ e-^-' -f- ..

On vérifie, en effet, que cette fonction satisfait aux conditions du problème si, bien entendu, on suppose remplies toutes les conditions de convergence.

2o2 PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS HARMONIQUES

Ainsi donc le problème est ramené à développer une fonction donnée V^ {œ, i/, z) suivant les fonctions U.

Si le développement existe, on en pourra facilement trouver les coefficients. Kn effet, soit :

Vo = A,U, + ... 4-A,;u„ + ...

Multiplions par Un^h, et intégrons. On aura :

(1) A„ =JJJ\^\]„dT

Mais la possibilité du développement n'est pas établie d'une manière rigoureuse. Pour qu'elle le fût, il faudrait pouvoir démontrer que, si l'on pose :

les coefficients A étant définis par l'équation (1), Il tend vers zéro lorsque )i croît indéfiniment. Or, ce point n'est pas démontré. Nous démontrerons seulement que :

que l'on peut appeler la moyenne du carré de l'erreur commise, tend vers zéro.

136. Comme V, ainsi que chacun des n premiers termes du second membre de l'équation (2), satisfait aux équations:

fit

— - -f AV = 0 an '

PROBLEME DU REFROIDISSEMENT D UN CORPS '■2'i'A

OU en conclut, d'après cette égalité (2), que K y satisfait égfalement. On a donc :

f = AU

dt

à l'intérieur, et :

au

à la surface.

Je vais démontrer que l'on a :

///RU.rf. = o

pour toutes les valeurs de i inférieures ou égales à n.

Va\ eiïet, multiplions les deux membres de Tégalité ijl) par U, d-, et intégrons, il vient :

J = f f /'vU/ d- = e '-i'. t\i + /' /* /'iir, d-

OU, en remplaçant A/ par sa valeur :

Dautrc part, puisque Ton a :

on en conclut

dl

254 PROPRIETES DES FONCTIO]SS HARMONIQUES

Cotte dernière expression, transformée par la formule de Cîreen, donne :

fiht-''^)^'- + fIP^^-'-

L'intégrale double est nulle d'après les propriétés des fonctions V et U,, il reste donc :

clt

ou :

di

On arrive ainsi à une équation différentielle entre J et <, d'où on tire :

Reportons ces valeurs dans l'égalité (8), elle devient : f ffn\JidT = o,

ce qu'il fallait démontrer.