S — V \ TI

Par suite, lorsque ; croit indéfiniment:

Km (;S) = ^ A„U„ = Vq.

Donc :

139. Nous allons maintenant renverser l'ordre des considérations qui précèdent; nous chercherons à démontrer (ju'il existe des fonctions S satisfaisant aux conditions :

AS + ;S = Vo

PUf)PA(iAT10N DK I. A CIIALEIB. 17

258 PROPRIÉTÉS DES PONCTIONS HARMONIQUES à l'intérieur, et :

^ + AS = o

an '

à la surface.

Remarquons, d'abord, que, si l, n'est pas égal à l'une des quantités A„, il ne pourra y avoir qu'une solution.

En effet, s'il y avait deux solutions S et S -|- T, on aurait

AT -f çT = o

et il faudrait pour cela que \ fût égal à l'une des quantités k. Si l'on a :

je dis qu'en général il n'y a pas de solution. En effet, appliquons le théorème de Green aux deux fonctions S et U„. On a :

En remplaçant par leurs valeurs les fonctions :

^S ^, AU„ et AS,

an an

on obtient la condition :

///u«Vo ch = o,

qui n'est évidemment pas remplie en général. Si elle se trouve remplie, il y aura une infinité de solutions, car on