GENERALISATION DE LA METHODE DE CAUCHY

pourra ajouter à la fonction trouvée la fonction U,, multipliée par une constante quelconque.

Le point important à établir serait de démontrer qu'il y a une solution lorsque ç est différent de ^„.

Les démonstrations que l'on fonderait sur les niaxima et minima des intégrales définies ne sont pas rig-oureuses. On pourrait trouver une démonstration plus rigoureuse en employant une méthode analogue à celle de M. Schwarz pour l'équation de Laplace. Une fois l'existence de S établie, on démontrerait que c'est une fonction méromorphe de l.

On cherchera la valeur asymptotique de S, et on verra que

c est -t"'

140. Les points singuliers de S sont les points ^ =: â„, et ce sont des pôles simples. On en cherchera les résidus ; pour cela on posera :

et la limite de T lorsque ? tend vers A„ sera le résidu correspondant.

On aura :

AT + ^;T = (; - k„) \,.

Par suite, à la limite :

AT-f /^„T=o, ce qui montre que l'on a :

1 — y.,1 u ,1 a„ étant une certaine constante qu'il reste à déterminer.

Pour cela servons-nous de la relation obtenue déjà plus haut par le théorème de Green :

C ffiSMJ,, — U„AS) dT = o

qui devient, en remplaçant AU,, et AS par leurs valeurs :

c'est-à-dire:

///U„T é. =fffv^\ .h ou, lorsque ^ tend vers k,, '.

ou, enfin :

a, =fff{]„Y, dr.

Ceci posé, on formera l'intégrale :

prise le long- d'un cercle de rayon inliniment g-rand, elle sera égale à Vq, puisque la valeur asymptotique de S est

-7^; d'autre part, cette intégrale est égale à la somme des

résidus de la fonction S; on en déduit le développement de Vq suivant les fonctions U. Tout cela n'est qu'un aperçu absolument dépourvu de rigueur. Ici encore je renverrai au mémoire cité du Circolo Matemalico.