COMPAR.VISON AVEC LA METHODE DE CAUCHY 'HA

141. Comparaison avec la méthode de Cauchy. — Il y a une grande analogie entre cette méthode et la méthode de Cauchy pour le développement des fonctions suivant des exponentielles dont les exposants satisfont à une certaine équation transcendante (chapitre xiii).

Comparons, par exemple, les deux méthodes dans le cas particulier du refroidissement de la sphère, lorsque la température initiale ne dépend que de r.

Les fonctions U sont, dans ce cas, de la forme :

(jL satisfaisant à l'équation :

tg a = Aij..

On voit que l'on a dans ce cas :

^n = \J-'ff

Par suite, si l'on a

on aura :

s = ,-EB"

Sin a,/'

Voyons maintenant ce [que devient ici la fonction R que nous avons employée dans la méthode de Cauchy.

On connaît les pôles tj. de la fonction R^ et le résidu correspondant à un pôle a est précisément le terme en e'>'*

du développement de / (r) suivant les fonctions ■ — -^ • Or, comme l'on a :

on en conclut :

r> / N „ Y B^ ^ ^ sin [A,/" — ;> cos ;/■„'•

Zu r z^ — t/.„2

On a par suite :

B„ — z sin y.;. — fa,. cos[ji.,.

- -i - Zj

On a donc

"- ' jLJ T Z^ tJl,.'

R (-g) — R (— -g) '^ B„ sin ,x„

E^'l s in |x„

On voit donc que les deux fonctions R et S se ramènent l'une à l'autre.