DE LA SPHÈRE

FONCTIONS SPIIÉRIQUES. - SÉRIE DE LAPLAGE

142. Nous allons traiter le problème du refroidissement d'une sphère de rayon 1, lorsque la température est distribuée d'une manière quelconque dans le corps.

La solution de ce problème se rattache à l'étude des fonctions sphériques.

143. Polynômes sphériques. — Nous appellerons polynôme sphérique d'ordre n un polynôme n„ de degré n, entier et homogène par rapport à x^ y, z, tel que l'on ait :

An„ = 0.

Un polynôme homogène de degré n à trois variables con-

^. An4-i) [n + 2) ,^ . ^. .

tient -^ — ' — '— ■ — ' coetTicients arbitraires.

Yt (tt 1 I

An„ qui est de degré (n — 2) contiendra ■ ^ '■ coefïi-

cients.

Si n„ esl un polynôme sphérique, le nombre des coefficients arbitraires sera donc :

On voit donc qu'il existera (2n + 1) polynômes sphériques de degré n linéairement indépendants.

144. Fonctions sphériques. — Passons maintenant aux coordonnées polaires en posant :

X = r sin 0 cos cp y z= r sin 0 sin cp z = r cosO.

On aura :

X„ étant une certaine fonction de 0 et (p que nous appellerons fonction sphérique.

On a l'identité :

Si, dans les équations (1) et (2), on fait :

elles deviennent :

-y- = nX„

CUi

-r- étant la dérivée suivant la normale extérieure. an

Considérons maintenant deux polynômes sphériques

SERIE DE LAPLACE "itio

d'ordres différents : II,, et !!,„, et appliquons-leur la formuli' de Green :

j I ("" ^'~ ^^'"'-^ï'^'" = /}J(Ji'Aii„,- ii.,aii„)./t

Le second membre est nul, et le premier se réduit à :

{m — ^)JJ X„X,„rfo).

11 en résulte que :

j j X„X„//oj =0

145. Série de Laplace. — De même que nous avons démontré la possibilité du développement d'une fonction arbitraire d'une variable en série de Fourier, nous allons démontrer qu'une fonction arbitraire des deux angles 6 et cp peut être représentée par une série procédant suivant les fonctions splîériques.

Avant de donner une démonstration rigoureuse, nous allons exposer la méthode par laquelle Laplace a été conduit à ce résultat.

Considérons une splière de rayon 1, et supposons qu'à sa surface soit répandue, suivant une loi quelconque, une matière attirante; soit V sa densité superficielle.

Considérons un point M non situé sur la surface. Soient œ. y. z ses coordonnées rectangulaires ; r, (f , 0, ses coordonnées polaires.

Soit M [x\ y\ z'] un point quelconque de la surface; ses

coordonnées polaires sont :

1, 0', cp'

Si Y représente l'angle MOM' [fiy. 30), on aura par la trigonométrie sphérique :

cos Y =•■ cos 0 cos 6' -|- sin ô sin 0' cos (cp — 's^')

FiG. 30.

et, si p représente la distance MM', on aura :

p2 = (^ - xy -f (y - yj + (^ - z'r ou :

p2 = 1 — 2r cos Y -|- r^'

Nous allons chercher le potentiel U de la couche attractive au point M.

En appelant rfw l'élément de surface, dont le centre est en M', on aura :

SERIE DK LAPLACE 267

Supposons, d'abord, que M soit à l'intérieur de la sphère; dans ce cas, rcxpression:

-= [1 2/-cosy4- r2] 2 P

pourra se développer suivant les puissances croissantes de r, puisque l'on a :

Soit :

ce développement. On aura :

(3) U =^ r"ff\.P,^d.,,

P„ est une fonction de y et, par conséquent, de 0, '^, 0', a-'.

Considérons P„ comme fonction de 0 et c& ; nous allons démontrer que c'est une fonction sphérique.

On a, en effet:

- = [{x- xy + (y - y')- + (- - ^?]"i Comme Ton a :

on pourra développer suivant les puissances croissantes de X, y, z.

Soit :

(4) i = 11,-1-11^ +no+-- +n„+...

r n„ étant un polynôme homogène de degré n en x, y, z.

Je dis que n„ est un polynôme sphérique. En effet, on a :

Donc:

AH, 4-An, + ... +An„ + ... =0.

Comme le premier membre est une suite de polynômes de •degrés différents, on doit avoir séparément :

Pour passer de ce développement en .r, y, z au développe- «lent précédent, il suffira de transformer en coordonnées polaires. On voit que :

Ce qui montre que P„ est une fonction sphérique de 0 ettp. On verrait de môme qu'en posant :

X„ =//VP„ d.

X,iSera également une fonction sphérique de ô et de cp, et l'on 4îura :