Si maintenant on suppose que le point M soi
■extérieur à la sphère, on aura un résultat tout à fait analogue
en développant - suivant les puissances croissantes de -'
•ce qui donnera :
[l-^cosY + ^J =^^
SERIE DE LAPL.VGE 26^>
et:
Si on considère la composante de l'attraction snivanl le rayon vecteur, on a pour le point intérieur:
et, pour le point extérieur :
Soient, d'autre part, a et a' doux points situés, le premier à l'intérieur, le seconda l'extérieur de la surface attirante.
Soient x et a' les valeurs de -r- en ces deux points.
dr
On sait que, si les deux points se rapprochent indctiiiiment,. on a à la limite :
V étant la valeur de la densité au point de la surface qui est la position limite de <j. et ;/.
Faisons donc tendre r vers l'unité ; l'équation (>; nous donne à la limite :
D'où:
C'est ainsi que Laplace a été conduit à c ^tte série.
147. Démonstration de Dirichlet. — La démonstration que nous venons de donner n'est évidemment pas rigoureuse ; Dirichlet a, le premier, donné une démonstration satisfaisante. C'est, d'ailleurs, cette démonstration que nous allons reproduire, mais en y introduisant d'assez profondes modifications. Avant de l'aborder nous devons d'abord résoudre le problème suivant :
FiG. 31.
Trouver une fonction W de r, 0 et cp qui se réduise à V à la surface de la sphère, et qui à l'intérieur de la sphère satisfasse à l'équation AW = o. C'est le problème de Dirichlet.
Considérons sur un rayon OP [fg. 31) deux points M et M' à des distances du centre r et r', telles que Ton ait:
rr = 1
Soient : V, la valeur de la fonction donnée en P, U, le potentiel en M ; U', le potentiel en M', qui résulteraient d'une matière de densité, V répartie sur la surface.
Si on considère les composantes de l'attraction dirigées suivant le rayon vecteur, on a :
fn\ r /«^U dl]'\ , -,
DEMONSTRATION DE DIRICHLET 271
Ona:
On en conclut
dr' ~ dr '" dr
Donc l'égalité (7) devient : (8) lim[^; + r3^+'-^u] = 4.V.
Considérons la fonction ^Y définie par l'équation :
dr '
On sait qu'à l'intérieur de la sphère on a :
