rW = 2r ^ -f U

dr '

et comme on a :

" "\' du

on en conclut :

d\} I I \ch,

dr

3 (cos Y — r

D'où:

D'autre part, on a, à l'intérieur:

et, par suite :

di Donc :

Ce développement est valable à l'intérieur de la sphère

dÉjIONStratiox de dirichlet 273

s'il était valable sur la surface, on aurait :

C'est ce qu'il s'agit de démontrer.

149. Nous allons considérer U et \V comme des fonctions de r, en regardant pour un instant 0 et t^ comme des constantes et en donnant à r des valeurs réelles ou imaginaires.

Lorsque r est réel et inférieur à 1, nous venons de voir que ces fonctions sont développables en séries procédant suivant les puissances croissantes de r ; le rayon de convergence est donc au moins égal à 1.

Nous allons chercher si les développements sont encore valables lorsque le module de r est égal à 1 .

Nous sommes donc conduits à nous poser la question suivante :

Étant donnée une fonction W (r) holomorphe à l'intérieur d'un cercle de rayon 1 et développable, par conséquent, suivant les puissances croissantes de r pour | r | < 1, quelle est la condition pour que le développement soit encore valable sur la circonférence de rayon 1 elle-même, c'est-à-dire pour :

<|/ étant réel ?

Soit donc :

J'observe d'abord que, si sur la circonférence \V est pnoPACvrioN de l\ ciiai.elk. 18

•développable par la série de Fourier, sous la forme :

les deux développements doivent être identiques, c'est-àdire que l'on doit avoir :

On a en effet :

Les intégrales :

doivent être prises le long de la circonférence de rayon 1 ; elles sont donc égales par le théorème de Cauchy à la somme des résidus des fonctions:

relatifs aux. pôles situés à l'intérieur du cercle de rayon 1.

F^a première n'a qu'un p<')Ie, r = o, avec le résidu A„ ; la seconde n'en a aucun.

i.es égalités (3) sont donc démontrées.