Nous sommes ainsi conduits à nous poser la (jues
DEMONSTRATION DE DIRICHLET 27n
tion suivante. Quelles sont les conditions q-e doit remplir la fonction \V poui- être développable en série de Fourier quand on fait r = e'-V.
Je suppose que la fonction W reste finie et satisfasse aux conditions de Dirichlet, sauf pour un nombre /ï ni de valeurs de -l que j'appellerai points singuliers. En un point singulier, W pourra cesser de satisfaire aux conditions de Dirichlet ou même devenir infmie ; mais l'intégrale:
/ I W I rf'}
devra rester finie.
S'il en est ainsi, je dis (|ue la fonction W est développable en série de Fourier. Pour montrer que la démonstration de Fourier est encore applicable, il suffit évidemment de prouver que l'intégrale de Dirichlet:
.27. sin J -i — lo)
tend vers TtW (-i^o) H^iand n croît indéfiniment.
Je supposerai un seul point singulier •h^ 'la démonstration serait la même dans le cas où il y en aurait plusieurs), et je supposerai de plus pour fixer les idées •}, > -1^.
Je partagerai l'intégrale J en trois intégrales partielles :
J = Jo + J^ + ^2 ;
Le théorème de Dirichlet (§ 41) nous apprend que. quel
REFROIDISSExMENT DE LA SPHERE
que soit s, J^ tend vers tcW ('fo)^ ^t J^ vers 0 quand n croit indéfiniment.
Nous supposerons que l'on prend toujours e < Sq, Sq étant une quantité fixe plus petite que il/, — '},) ; on aura alors entre les limites de l'intégrale J, :
sin ^ (■!/ — 'lo) M étant un nombre fixe, d'où :
iNl
D'après les hypothèses faites, le second meniljre de l'inégalité (1), d'ailleurs indépendant de n, tend vers 0 avec £.
Voici donc comment on pourra conduire la démonstration.
Je veux démontrer qu'on peut prendre w assez grand pour (|ue :
(2) \ J - rA\ (•l,;) \ <-r.
quel que petit que soit tj.
Pour cela je prendrai d'abord s assez petit pour que:
d'où :
JJ
Le nombre s étant désormais fixe, je prendrai n assez grand pour que :
ce qui entraînera l'inégalité (2).
DEMONSTRATION DE DIRICHLET 277
151. II ne me reste donc plus qu'il étudier les sing-ularités que peut présenter la fonction W, définie au |i 147, pour r = e'']'.
Les conditions auxcjuelles doit satisfaire la fonction V n'ont pas été définies par Dirichlet avec la même précision que pour la série de Fourier ; nous supposerons dans ce qui suit que l'on puisse diviser la surface de la sphère en régions R,, Ro,.--î l^m séparées les unes des autres par des courbes formées d'un nombre fini d'arcs analytiques ; dans chacune de ces régions la fonction ^' sera finie, continue, et possédera des dérivées du [)remier ordre par rapport à 0 et © ; mais elle pourra éprouver des variations brusques quand on passera d'une région à l'autre.
Soit M un point intérieur à la sphère, à la distance r du iîentre.
Prolongeons OM jusqu'au point de rencontre P avec la sphère.
Nous prendrons, comme courbes de coordonnées sur la sphère, des petits cercles de pùle P et des grands cercles passant par le point P et son antipode.
Un point M' delà sphère sera défini par l'angle l^OM' := y et par l'angle a du grand cercle PM' avec un grand cercle fixe pris pour origine et passant par P.
Dans ces conditions, l'élément de surface de la sphère
sera :
ddt = sin Y dy d<x.
Reprenons la fonction U dont nous nous sommes déjà servis précédemment :
da.
U /Tv sin y c^^l
il faudra intégrer par rapport à a de o à 2::, et par rapport à Y de J à TT.
Posons alors
On aura
/•au
TT
F (y) sin y c?y
152. La fonction F (y) est une intégrale prise le long d'un petit cercle de pôle P ; ce petit cercle pourra : ou bien se trouver tout entier à l'intérieur d'une seule région, comme
Fiii. '62
dans la figure 32, ou bien être composé de plusieurs arcs situés dans des régions différentes.
Dans ce dernier cas, nous décomposerons l'intégrale F [y] en intégrales partielles relatives à ces différents arcs.
Soit, par exemple :
/.ao
«^ ai
da.
l'intégrale relative à Taxe a,a2 (/?,(/. 33). On aura:
DEMONSTRATION DE DIRICHLET
Dans le iiitTiie ordre d'idées, on décomposera U en un certain nombre d'intéi^rales partielles étendues cliacune à une
certaine région; chacune de ces intégrales sera delà forme
F< (y) si" Y d-i
P, (y) étant une intégrale dont les limites a, et a.^ varient avec Y-
153. Envisageons F comme foiictiim de y- Nous allons étudier d'abord les singularités de la fonction F (y) ; ce sera, en général, une fonction continue, car en général a^ et aj varieront d'une manière continue. Il y aura exception lorsque, parmi les arcs ([ui limitent la région considérée, figurera un arc de petit cercle ayant son pôle en P.
Il y aura dans ce cas une variation brusque des limites de l'intégrale.
Je dis qu'en général F (y) a une dérivée finie, même pour les valeurs imaginaires de r; on a en effet:
•J ai
L'intégrale est toujours finie, car j'ai supposé qu'à l'intérieur d'une même région V avait des dérivées du premier ordre finies. F' (y) ne peut donc devenir infinie que si l'une des
quantités -r^i -— devient elle-même infinie, ce qui arrive si
le petit cercle devient tangent au contour qui limite la région. D'ailleurs, en ces points, F' (y) devient, si le contact est du premier ordre, infini de l'ordre de :
ïo
en appelant y^ la valeur de y qui rend F' (y) infinie.
Si le contact du petit cercle avec le contour de la région est d'ordre w, F' (y) est infinie de l'ordre de :
En résumé, la fonction F (y) est finie et a une dérivée finie, sauf pour certaines valeurs singulières en nombre fini que j'appellerai:
Ayant une dérivée, elle satisfera aux conditions de Dirichlet.
154. Étudions maintenant la fonction U considérée comme fonction àe r = e'"!». Elle est définie par une intégrale :
/F (y) siny c/y la quantité sous le signe / devient infinie pour p = o, c'est-
DEMONSTRATION DE DIRICHLET 281
à-dire pour :
Si •} =r dz Kt: (K entier), elle devient infinie d'ordre - ; si
i|/ = Ktt, elle ne devient pas infinie, car le numérateur siny s'annule pour y = =t •]'•
Dans un cas comme dans l'autre l'intégrale reste finie.
U est donc une fonction qui est toujours finie. Nous allons voir maintenant que, sauf en certains points singuliers, elle a une dérivée finie et satisfait, par conséquent, aux conditions de Dirichlet.
Considérons maintenant — — ar
Soient Yq, y,... les valeurs singulières dey? c'est-à-dire celles qui rendent infinie F' (y).
Nous mettrons ces valeurs singulières en évidence en décomposant l'intégrale U en une somme d'intégrales partielles admettant ces valeurs singulières pour limites, et telles que :
(9) pFilliiairf^
^ yo
On en conclut que -7- sera la somme des dérivées de ^ dr
toutes ces intégrales. Or, l'intégrale (9) peut se transformer
en remarquant que :
siny 1 do
^ fFWpT, f' EiÂi a-,
Comme Ton a :
d^ 1 dr
