COS Y

et, par suite :

P étant un polynôme entier en r, on voit que — sera une somme d'expressions, telles que :

(10) P-MP]-'. f' mf ,,,

155. La première partie ne peut devenir infinie que si p s'annule pour y = yo ou pour y = Yi, c'est-à-dire si:

ou :

et, dans ce cas, on aura un infini d'ordre^-

Quant à l'intégrale, elle restera finie en général.

En effet, la quantité sous le signe / ne peut devenir infinie que dans deux cas:

1° Quand F' (y) devient infinie, c'est-à-dire pour y = y„ ou pour y = y, ;

2° Quand p s'annule, c'est-à-dire pour '[ = ± ^.

Si •]; n'est pas égal à ± y^ ou ±y,, ces deux circonstances ne se produiront pas à la fois ; l'élément correspondant à

'•' ~ ïoi ou y = y,, sera mtîni d'ordre - (ou dordre — — r^ si

DÉMONSTRATION DE DIRIGHLET 28!^

le contact du petit cercle avec le contour est d'ordre //. Vide § 153, in fine) ; l'élément correspondant à y = ±: •} sera

. . . , 1 rfU

infini d'ordre - ; rintégrale restera donc finie. Ainsi -j- est

finie sauf pour un nombre fini de points singuliers :

<|. = =hyo, ±Y, ...

156. Qii'arrive-t-il en ces points singuliers? Pour nous ci» rendre compte, je me contenterai d'un aperçu ; supposons que ']/ soit très voisin de y^ par exemple, et faisons:

•} = ïo + y^ r = To + ^•

notre intégrale prendra la forme :

) dx. <->

'"-' {x — yY

0 étant une fonction de x et y qui ne s'annule pas pour X =z g = o.

Posons alors :

x = yz il viendra :

^ z'^^ iz — 1 -'

ce qui nous montre que l'intégrale devient infinie d'ordre :

Dans le cas particulier où n = 1, le calcul précédent

serait en défaut ; on verrait que l'intégrale admet un infini logarithmique.

bn résume, — - peut devenir munie, mais d ordre toujours

< 1 ( et môme < g)- Il en résulte que les intégrales:

et:

sont finies.

157. On peut se demander maintenant si pour les valeurs non singulières de <h^ les fonctions — et, par conséquent, W

satisfont aux conditions de Diriclilet.

11 faut, d'abord, préciser ce que j'entends par là quand il s'agit d'une fonction imaginaire ; je veux dire que la partie réelle et la partie imaginaire y satisfont séparément.

Cela posé, considérons l'intégrale:

Si <]f est compris entre y^ et Yi, je la partagerai en deux, et je considérerai l'une des deux intégrales :

par exemple la première.

F' (y) étant finie, sauf aux limites, sa partie réelle et sa par-

DEMONSTRATION DE DIRICIILET 285

lie imaginaire poun-onl, ruiie et l'autre, être regardées comme la dilîérence de deux fonctions positives de y. D'autre part, la partie réelle et la partie imaginaire de:

qui sont des fonctions de y et de ■}, })ourront être l'une et l'autre regardées comme la différence de deux fonctions négatives et décroissantes, par rapport à •]/,el (jui sont finies sauf pour y =i •! ; si y — •]/ est uu inliniment [)etit du

premier ordre, elles sont infinies d'ordre -•

Il en résulte que J sera une somme d'intégrales de la forme suivante :

j = f ABcfy

oîi A est une fonction de y positive, et B une fonction de y et de 'l> négative et décroissante, une somme de pareilles intégrales, dis-je, affectées de l'un des facteurs :

-{- i, — i : -h ' ou — i

L'intégrale J sera une fonction décroissante de •!/, que la limite supérieure soil fixe ou qu'elle soit égale à -i/.

L'intégrale J sera une somme de fonctions satisfaisant aux conditions de Diriclilet.

Llle y satisfera donc elle-même, et il en sera de même

par conséquent de — et de W,