RÉGULIERS

Fermai a émis l'assertion que l'équation

,/" + bm + c"' = 0

est impossible en nombres entiers a, l>. c différents de o pour tout exposant entier /)i>i. Bien que déjà avant Kummer on ait obtenu des résultats isolés remarquables sur celle équation de Fermât [Ab'el1, Cauchy1-2, Dii ichlel lj:'. Lamé1-2'3, Lebesque1,2'3], c'esl pourtant Kummer qui est parvenu le premier, en s'appuyant sur la théorie des idéaux des corps circulaires réguliers, à démontrer le théorème de Fermât pour des élusses liés étendues d'e\pos,uils m . Le plus important des résultats de kummer est le suivant : "

Théorème i 68. — / étanl un nombre premier régulier el x, 8, ■• des entiers quelconques du corps circulaire il<- racines P" sde l'unité, donl aucun n'esl nul, on n'a

jamais l'égalité

[ Kummer '•'■'• '. |

Démonstration. — Soit Ç = e~, \ = i — Z, l = ().). Supposons que l'équation | i85 i ail une solution -n nombres entiers •/. 8, 7 du corps ci ".■> el distinguons les deux cas où aucun des trois entiers x, 6, y n'esl divisible par l et celui où l'un au moins des trois est divisible par I .

Dans le premier cas, mi doil en tout cas exclure les valeurs 3 e! ."1 pour l'exposant /. En effet, pour Z=3 chacun des trois nombres x, S, y sérail fc 1, mod 1, el par suite chacune des trois puissances tx3, V, y*==-t- 1. mod [*; la somme «' - y • ■■' serait donc congrue à + 1 ou à ±3, mod I3. ce qui esl incompatible avec l'équation (i85). On arrive à une contradiction semblable avec /=.">. si l'on considère que dans ce cas chacun des trois nombres x. 3, y est congru, mod l, à -+- 1 ou + ■>.. el par suite chacune des trois puissances x5, 8", y3 devrait être congrue à -+- 1. +32, mod V{}).

Soit donc l^> 7. Si l'équation (180) est vérifiée par les trois nombres •/. 6, 7, on a évidemment aussi x*' + S"' + y*' = o, en désignant par x*, 8*, y* les produits de x, 8, y par des racines l'éme* quelconques de l'unité. Cela étant, nous pouvons dorénavant admettre que les trois nombres a, S, y vérifiant l'équation (i85) sont semi-primaires. Mettons alors l'équation (i85) sous la forme

Si deux facteurs du premier membre, par exemple x + 'l"ri et x -+- ç" 'p, avaient

un l'acteur commun, celui-ci devrait aussi diviser (V7 — i)x et (1 — :" i'J>. el comme

est une unité et que 1 ne divise pas y, ce facteur commun devrait nécessaire-

(') N. T. — Pour l=-j, la contradiction relevée dans le premier cas pour / = ?>, / = 5 n'existe pas. En prenant, en effet,

a = — 1 . 8 = — 2 , y = + 3 , mod I ,

on a

x7= — 1, 8'=— 128, y7=-r-2iS7, mod (f= 7. 11. et

o se x7 + b' 4- y7 = 2o58 ou 7 x 294 = 7 X 7 X 4a . mod 7 . 1, ou

7 x 42 = o, mod I, congruence qui est vérifiée.

2o8 U- I1ILBERT.

ment appartenir aux nombres ?. et p. Tout facteur premier ne figurant que clans un seul des / fadeurs du premier membre de (186) doit évidemment, d'après cette équation même, avoir un exposant multiple de /; les / facteurs du premier membre de i i86) se décomposent donc comme suit :

a + ÇP = \\ a.

a désignanl le plus grand commun diviseur idéal des nombres % et p, el j. j,

j, des idéaux de c('Ç). Comme a + l'~'ti, en particulier, est premier à 1, on peut

déterminer une racine /''""' de l'unité £*, telle que £*(a 4- 'Ç'~'p) soit semi-primaire.

l'usons

( >n obtient alors

c'est-à-dire que l'on a

vw

Vi,,v

et un a di1 plus

(188) ix-+Ç'-,p = Ç*-'.

// désignanl le nombre des classes d'idéaux de e(Ç), on a, d'autre part,

■-)(,/ Xjj,/ \J/-i

el, comme h est premier à I . on en déduit