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l'ar conséquent, on peut (voir théorème [37, S 98) mettre les relations (187) si ni> la 1 u'ine

THEORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQ.1 ES. i\)\)

les eu désignant des exposants entiers rationnels, les ; des unités réelles du corps circula in? ci ' i et les 7. des nombres de ci Q entiers ou fractionnaires .1 numérateurs el dénominateurs premiers à (. La /""'" puissance du nombre x„ étanl toujours congrue ;'i un certain entier rationnel mu, mod t' ('), on tire des égalités 189) les con-

gruences

(190) ^ + ç''?sr";<ï|,, ii'i.

Effectuons dans ces congruenecs la >ulisti tution (Ç ; Ç-') cl désignons par ■/. el : les transformés de p, el ; par cette substitution; il vient

De (190) et (191 ) résulte

(192) u + :"? = ?*">' + :""~"p', ll'.i. l« = o, i.-î *— ai.

En posant u = m, p = r. mod 1*, m et r étant des entiers rationnels . il résulte

(') N. T. — La puissance l''-"K de tout nombre * de c(Ç) est congrue tnod I' à un certain enliei

rationnel a .

En effet, s peut être mis sous la forme

A euliei - patio

a0 et é0 étant premiers à /; on a donc :

&0a = a0, (mod 1).

On peut toujours déterminer un entier b tel que l'on ait

bb0= i, (mod /),

alors on a

c'est-à-dire

et par suite

a étant entier rationnel.

(;) N. T. — -En effet,

660a = a06-, (mod ( - .

œ = a06, 1 mod 1).

a' = «, (mod I'),

H' *. + "V** + ••• + V,xi s

car a est le quotient de deux nombres semi-primaires.

a = m , (mod V) , revient donc à

lijn = a0, (mod l2);

or b0 et o0 étant premiers à /, la congruence

bam==aa, (mod/),

a toujours une solution m =[= o, et par suite l'on a aussi

''„»' = «„■ (mod li.

I). HILIJEKT.

de i 192 1

et. à cause de la relation générale L" = 1 — g\, mod l\ (ig3) donne la congruence

■ica(in + r) = 2 ru, (mod /).

D'autre part, il résulte de l'égalité (188) : />!+/•= t. mod /, et par suite nous axons

c„ = ru , ( mod /) , (» = h. 1, 1 ;-'.).

Prenons alors, en tenant compte de cette relation, les congruences (192) pour u = o, i. 2. 3: on en tire, en éliminant ;;.. p. ;;.'. p'.