cet, crr. cr-'r
c'est-à-dire
(i94) (1 - 0(1 - no - no: - d« -
= 0, (modt'),
usr— i\ .- >/î
\urun des facteurs du premier membre n'est égal à o, car autrement on aurait soil /• = o, soit r=i. soit '" = j, mod l- Si l'on avait r = o, mod /. il en résulterail fi = o, mod I; si l'on avait r=i, mod /, il en résullerait p=i, mod I, c'est-àdire j3 = a-|- (j ou a = o, mod I. Dans les deux cas c'est impossible, vu notre hypothèse sur les nombres oc, p, y. Si l'on avait /• = ;. mod (. on aurait p = j. mod 1. c'est-à-dire 2 p = a + f3 ou oc=j3, mod 1. Mais comme a, fi, y entrent symétriquement dans l'équation ( 1 85), on aurait aussi a = p = y, mod l, et par suite
c'est-à-dire y = o, mod 1, contrairement encore à l'hypothèse. Chaque facteur du premier membre de la congruence ( ig4) est par suite divisible par 1 . mais non par 1*; cette congruence est donc impossible, puisqu'on a /^-7-
Supposons maintenant, en secênd lien, que dans l'équation (i85) l'un de-, trois nombres y. S, --. par exemple •;. soil divisible par I et contienne ce facteur à la m"""' puissance. Si l'on remplace alors -■ par '/'"l, S étant un entier de c(l) premier à 1. l'équation ( i8r>) prend la forme
(i95) a.' + fs' = £V"S!,
s étant ici égal à — i . On va montrer qu'une équation de cette forme (iq5) es I même
impossible, y . fi, B étant îles eut iris quelc [ues de c(ï) premiers à l et ; une unité
quelconque du corps circulaire ç(Ç). Pour cela, supposons encore les nombres ■/. fi
THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGÉBRIQUES. 3oi
semi-primaires el observons d'abord que ■/'. p sonl congrus à des entiers rationnels, mod 1 '. ol que, vu (ig5), z'i'"'V doil aussi être congru à un entier rationnel, i m k1 i ' ; m doil donc être > i. On trouve ensuite, par des considérations analogues h celles du cas précédenl el en tenant compte de ce que m +■ B esl semi-primaire, les égalités
nù j. f, ii—,- a s"nt ('es idéaux premiers à t de c(Ç). Si / = 3, le nombre de
élusses h du corps c(Ç) esl égal à i el. par suite, tout idéal de c(ç) esl un idéal principal. En ]n isant dans ce cas a = (y.). /. étant un entier de cl '^ i, et ensuite
les égalités (196) deviennent
-,Mm— i)i.;
('97) { :J- + L'r = '-iî-
Dans le cas de />3, formons les nombres
on peut aussi les mettre sous forme de fractions dont le numérateur el le dénominateur soient premiers à 1. Les trois premières et la dernière des égalités 1 196) nous donnent
I vt *\
Nous en concluons encore
»^fc- I ,
il pai suite àous pouvons mettre les égalités i 198) sous la forme
•• Itiit— 1) -1 ^ »/
ly- + ? = — — - — — .
v. a*. V. ••" étanl des entier-- de c(Ç) premiers à I et : et e* des unités de ce corps. V cause de ( 1-97), on a également, si 1 = 5, un système comme (199). En éliminant \r. et p, on obtient, aussi bien pour 1=5 que pour />3, une équation de la forme
(200) a + 7)fl = t, /. y •
où té et y,* ( égales à ^s et à — -r-i* ) sont des unités de cl Q. x*'~, y étanl
congrus mod 1' à des entiers rationnels et m étant > 1, comme on l'a démontré, il résulte de cette équation 1200) que r, aussi doit être congru à un entier rationnel
mod 1', et par suite 1 théorème i56, § i4i) ï) est la I' puissance d'une unité de g(Ç).
En mettant alors fi*i\~l à la place de V dans (200) cette équation prend la forme de (193), sauf que l'exposant m a diminué d'une unité. En continuant ce procédé, <>u finirait par arriver à une équation de la forme (iu5) avec m=i, et par suite par arrivera une contradiction. Le théorème 168 esl dune complètement démontré.
§ iy3. — Autres recherches sur l'impossibilité he a'" + 8'" + y'" = 0. Kunimer a encore donné la démonstration de l'impossibilité de l'équation
en nombres entiers x, fi, y du corps circulaire des racines 1"°"- de l'unité, dans le cas où l est un nombre premier divisant le nombre de classes h du corps circulaire c\e~), h n'étant d'ailleurs pas divisible par P-('). [Ruminer "'.] D'après la remarque paragraphe i3g, le théorème de Fermât est donc reconnu exact pour tous les exposants m -^ 100. La démonstration de la proposition de Fermât dans toute sa généralité esl encore à trouver.
Il reste encore à traiter le cas où l'exposant m e>t une puissance de 2. L'équation a' + b*=c' a, comme on sait, une infinité de solutions en nombres entiers rationnels </, 6, c. Cependant, on a ensuite le
(') N. T. — Voir, pour celte démonstration, la note VI.
THÉORIE IiKS CORPS DE NOMBRES AiGÉBRIQUES . .'m.'i
Théorème 169. — -/ . ($, y riant des entiers =|=o du corps quadratique déterminé par ( = v — '■ "" n'a jamais l'équation
(201) -,.' + fi' = .,\
Démonstration. — admettons qu'il existe, au contraire, trois entiers ». B, y vérifiant cette équation. Posons / = i 4- / el l = (>,). Nous voyons d'abord facilemenl que l'un des deux nombres 1, 8 doit être divisible par >.. En effet, admettons que x el 8 soient premiers à À el observons qu'un entier de ei i) premier à À e>i toujonfe = 1 ou i, mod T; son carré est par suite =-+- 1, mod I', el sa quatrième puissance esl = 1 mod (''. Il en résulte x* + b'=2. mod l' . Par suite, y devrail être divisible par 1 el non par 1". Mais si nous posons en conséquence •; : = À - XV, y étant encore un entier de c(i). nous trouvons y5=2i, mod 1'. et par suite toujours y*E|=a' + 6*, mod 1'. contrairement à l'hypothèse. Le cas où les deux nombres v. el 3 seraienl divisibles par { peut évidemment être exclu de suite, car alors y serait divisible par 1" et on pourrait supprimer la puissance V dans les deux membres de l'équation (aot).
Il ne reste donc que le cas où un des nombres a. 6, par exemple 1, esl divisible par .1 . S et y étant au contraire premiers à (. Nous posons a = "/.'" y*, où -,." est un nombre premier à X, et nous considérons l'équation plus générale
i désignant une unité de ai). Nous déduisons de cette équation (202), en changeant au besoin y en — y, deux équations de la forme
lf--1 = ÏA- S",
où y,, j sont des unités de c(Ç), x et 6' des entiers de c(i) premiers à I. En additionnant les deux équations (2o3) et divisant le résultat par 5a', on obtient une équation
(204) s'4 — 5'&* = yx
où 5'. y/ sont des imités de c(i). Si m était égal à 1, cette équation serait sûremenl impossible, car S'. &', 8, y,'. %' sont tous = i mod t. Donc on a m> 1. Mais alors on déduit de cette équation (204) la congruence j'= 1 mod T; par suite, mi a V = ±l- En posant S = y'ou B = iy, suivant que j=+ 1 ou — 1. l'équation (204) prend la forme (302). à part que m a diminué de 1. En continuant ainsi, on arrive à une contradiction.
On déduit immédiatement du théorème de Fermai pour /=3 qu'il n'existe au
3oZi
D. HILUERT.
cune équation du troisième degré à coefficients rationnels et de discriminant i en dehors des deux suivantes :
el de celles qui s'en déduisent par la substitution x=:x' + a (<i étant rationnel). [ Kronecker8.]
On peut, comme Hurwitz, exprimer le théorème de Fermât en disant que l'expression yi — x'" représente toujours un nombre incommensurable pour m entier >» 2 et x fractionnaire positif.
^vuwWW
THÉORIE
MÉMOIRE de M. David Hilbekt,
Professeur à l'Université de Gœttingën.
.NOTES DE MM. G. III MBERT ET Th. GOT.
Snionl
NOTE I (annexe au I 5), Pak G. HUMBERTO).
Démonstration du lemme 2. (Théorème d'Hurwitz.
F =>,,,■"' + Vr'- + ... + -,„,.
G= fv" + ?,./.'"-' + ... + p„, deux polynômes en x, h coefficients entiers algébriques quelconques ; soil
je dis que si un même entier algébrique u <li\isr tous les -,, (c'est-à-dire si les •-, : a>, qui sont algébriques, sont aussi entiers), w divise tous les produits *,%,■
En effet, fixons i et k ; on a, en désignant par xh les racines de F = o. par yft celles de G = o,
±-^.|* = (S.a:1x1...xl)(Syiy....yJ
(J) Cette Note et les suivantes n'ont rien de personnel; elles ont été rédigées, après lecture des Ouvrages ou Mémoires classiques, à l'occasion d'un coins professé au Collège de France en 1 910-191 1 .
3o6 !•>• IIILBERT.
Or. considérons l'équation FG = o; soient ;,, ~t, ... ses racines, qui sont les xh et les y.;, partageons les ; en deux groupes de toutes les manières possibles, l'un dr m racines, l'autre de n; soient th et rlh les racines de deux groupes d'un même système. La fonction H = (ÏJ1Ç2 ... QCSïjjY;, ... rlh) est une fonction rationnelle non symétrique des racines ; ; en prenant tous les groupements possibles des m -\- n racines ; en deux groupes de m et n respectivement, on obtient un certain nombre
de fonctions a; dont l'une est + — L. — . D'ailleurs, toute fonction symétrique des u
l'est des r ; donc, les u sont racines d'une équation algébrique dont les coefficients sont rationnels par rapport aux coefficients y de FG = o. D'une manière plus précise, les coefficients en question sont des polynômes en y, ; y0 à coefficients entiers ordinaires : cela résulte de la proposition suivante facile à démontrer :
Suil une équation algébrique x" + "1.'.'"~1 + ... + a„ = o; considérons la fonction symétrique des racines x{ : Ecc"1^2 ... x^" , les a, entiers ordinaires non négatifs : elle s'exprime par un polynôme en at, at. ... , '/„. dont le degré est te plus grand des a, et dont les coefficients sont entiers ordinaires.
Suit donc
BM + </,«*-' + ... +.dM = o
l'équation en u\ on a
-d,= £B = z[(sçtç,...-g(ï7llv-i.)]-
Le second membre est une fonction symétrique des £t, où les Ç4 figurent tous au premier degré chacun; donc, d'après la proposition qui vient d'être énoncée, dt est un polynôme d'ordre un par rapport à l'ensemble des yt ; y0. De même dt est d'ordre deux. (/, <sl d'ordre trois, etc.
On peut donc écrire l'équation en u :
u" + ^i^1-1 + -1W~2 + ...'+ ^ = o, Yo Yo Yo
l\ élanl un polynôme entier à coefficients entiers ordinaires d'ordre i par rapport
à y, y , y el homogène, puisque </, élail un polynôme d'ordre i en y,'.y0,
y., : y , etc. D'ailleurs, ».,CJA. ; a0p0 est l'un des u; donc, en posant 3,^ = 1' et observant que y.x p0==Y0, on a pouri' l'équation
P / i>\»-< PM
Yo v Yu ' Yo
c'est-à-dire
uM + Py-' + Psuv-2 + ... + PM = o.
I III i UU1 DES CORPS DE NOMBRES ALi.l'lSIUiil I s. ,''((iy
Supposons maintenant que les •-, sqient tous divisibles par 10; je dis que v l'esl
aussi, ou que — est un entier algébrique. On écrit « ■ n effet
Or, d'après l'hypothèse — -, — \, ... sont des entiers algébriques, car I' étant
homogène, à coefficients entiers ordinaires, d'ordre i par rapport aux ■; et ceux-ci
di\ isibles par w , —est un polynôme entier a coefficients entiers ordinain - par rap-
port aux entiers algébriques — ; donc entier algébrique aussi, par un théorème
connu. Donc, également d'après un théorème connu, — . racine d'uni' équation de
premier coefficient i et à coefficients entiers algébriques, est entier algébrique; ou encnie i 3 est divisible par u>, c'est-à-dire que le quotient x^ ; <•> est entier algébrique. C. q. f. d
