V-m, = et" — e; + Pl" — p

c'est-à-dire

E( entier positif, nul ou négatif et p, positif, nul ou négatif, mais inférieur à — en

valeur absolue.

Par suite, étant données m quantités m,, m, /n,„, on peut trouver dans la

série i. 2 K'" un entier y. (non nul) tel que, pour/=i, a m . on ait

|;.m, =Ëi + pj; E, entier et |p;| <t^-

Lemme 2. — L'entier jj. étant ainsi déterminé, on a

= (E1 + p,)o)l+.(E5 + Pl)<o, + ...

E; entier ordinaire, p, fractionnaire, | p,| <C -rr- , ou

1 1 résulte de là que

||xa - E,.», - E,W, -...]< |?,!,. |«,| + |f.| • Kl + ... ;

donc, si Q est le maximum du module des en (c'est-à-dire le plus grand des |w,|),

on a

mû

|ucc — A|<T,

THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES AI.i.l' ISItIHI ES. 3oQ

\ étant nu entier du corps &>. Passant aux conjugués, on a de même, pour le même ■> :

ls**'-A'|<:

On ii le même \>. parce que ce p. ne dépend que de mt, mt mm, qui restent les

mêmes quand on passe de v. à ses conjugués x', ■/.". etc.; de même V est Le conjugué de \ . parce que les K, ne dépendent que des mt. Ma in Ici m ni observons que si p est un nombre d'un corps w, sa norme est fi fi'fi" . . . : si l'équation en u a des racines imaginaires, elles sont, deux à deux imaginaires conjuguées et il en est de même pour les p correspondants, de sorte qu'on a dans tous les cas

[Norme p\ = |fi| . |fi'| ....

Donc, en multipliant membre à membre les inégalités ci-dessus, on a

, fli"QÛ'... <7" |Norme (<j.% — A)| < — <-^r-

('. étant un entier fixe qui ne dépend que du corps et non du nombre a. Prenons k = C; il en résulte le lemnie suivant :

Etant donné dans un corps d'ordre m un nombre entier ou fractionnaire / . on peut trouver un entier ordinaire \j. positif, au plus égal à C". (C étant un entier positif ne dépendant que du corps) et un entier A du corps tels que

| Norme (y.a. — A)| <f i •

Corollaire. — Soit I un idéal quelconque, a un de ses entiers autre que o et de norme minimum en valeur absolue (autre que o nécessairement, car la norme étant a-/' ... ne peut être nulle qui si un des a, donc évidemment tous, sont nuls). Soit »(

un autre entier de I; appliquons le lemme 2 au nombre du corps — . On aura, pour H entier ordinaire positif et <<C C",

|N(|4JlL p)|<I>

fi entier du corps, d'où

|N((jia( — fia)|< |Nx|.

Mais |Na| étant en valeur absolue la norme minimum autre que o dans l'idéal cl u-y, — fia étant un entier de l'idéal, puisque a, et a en sont et que \>. et fi sont entiers du corps, on a nécessairement

N(;j.a, — pa) = O, d'où

!J.ïl = fi ï t

par une remarque qu'on vient de faire.