G. HUMBERT. NOTE II
Donc \i.-j.t est divisible par x; a fortiori, puisque y est un des entiers i, 2 (','".
il en sera de même de C" '. y.t .
Posant Cm! = M. on voit que, a, étant un entier quelconque d'un idéal I, M-/, est divisible par j., ou encore que tous les entiers de l'idéal MI sont divisibles par a. ce qui entraîne
(M)I = U)J, J étant un idéal.
Je dis que J contient M. En effet. (M)I = (a)J montre que le produit d'un nombre de I par M. ilhisé ensuite par a, est un nombre de J; or, a étant de 1, l'entier
— = MestdeJ.
Si donc nu dit que deux idéaux I et J sont équivalents lorsqu'il existe deux entiers du corps h et fj. tels que (A) I = (;;.) J, on peut dite que
Tout idéal équivaut à un idéal qui contient un nombre fixe M dépendant seulement ilu corps.
Remarque. — Deux idéaux équivalents à un troisième le sont entre eux. r.ar si
(*,)I, = (P,)K, on en conclu!
(p)(P,)K = (ap,jt=(«1|»)I,-
Théorème. — Si mi range dans une même élusse les idéaux équivalents, le nombre des classes d'idéaux est fini.
Car tout idéal équivaut à un idéal contenant M, donc contenant (M). Or, un idéal donné, ici (M), n'est contenu que dans un nombre limité d'idéaux (lemme 1 du paragraphe \ \ : il nue le nombre des classes d'idéaux est fini.
Théorème." — Une puissance convenable d'un idéal quelconque I est un idéal principal.
Formons, en effet, I, V, Y, ... en nombre illimité; il faut, par le théorème préeé (lent, que deux de ces idéaux soient équivalents, c'est-à-dire
On n'a pas le droit de diviser pur I'. parce qu'on ne suppose pas établi le tkéorème fondamental qu'an peut /murer, pour tout idéal I . un autre idéal J tel que l.l soit principal. Mais on sait que si un idéal quelconque J = KL, tout nombre de .1 appartient à K. car si p^ ;,. ... suiit les nombres de K el at, -,, ... ceux de L, ceux de KL sont E/.pjGj, el ce siiut évidemmenl des nombres de K; ainsi tout nombre de KI, = J esl de K .
Mil (Util: DES Ci)ltl>s DE [SOMBRES ALGEBRIQUES.
3 ii
Soient -/, atm et p, pm des bases de lr et I'-. il résulte de la relation précédente que ïi; c-t divisible par p et que le quotient est un nombre de I'. V. donc de I
c'est-à-dire — a.a.( = Xpil ■+- j*lat + .v, les Xf, y.,, etc., entiers ordinaires. On a ainsi,
|Miiir;=i, 2, .... m, m relations linéaires et homogènes entre les >.,. Eliminant ces quantités, on a
équation à coefficients entiers ordinaires en — . d'ordre m. de premier coefficient -+- i,
Donc — est un entier idu corps), soil 7. et l'on peut écrire
Les nombres xp., * p, otmP, sont des nombres de IT (car les /, sonl une base
de lr. les p de V): donc, divisés par --. ce sont des nombres de V, c'est-à-dire que
Il = I. :
d'où on conclut encore que —, et de même — -, sont entiers i\\\ corps.
Donc r=(v)J, J étant un nouvel idéal, et (V)r = ri" donne (v)Ir = (y)I' -I. c'est-
à-dire évidemment
r= rj
(car ici on peut manifestement diviser par l'idéal principal (-•) I.
Si ;,. S,, etc., est une base de J. la relation Ir=IrJ montre que x, est un nombre de IrJ; or, un nombre de V étant x,at + xp%+ ... , un de J étant y ,8, 4-y,8, + ■■■• "» nombre de TJ est manifestement du type S0/A.x;îA., les <-); A étant entiers du corps.
On a ainsi :
x = X X/ S- 4- X — *J B — I— . . . — f- or Xc 8 ,
x — X v/ ,;: 4- X -■) '5 -I- .. . + 1 Ss'8 ,
1rs Xj, ;j., "/.',, ;j.',. etc.. étant entiers du corps. Eliminant les x, entre ces m relations linéaires et liomoeènes. il vient
- . -r-2ft'8„....
3l2 G. HUMBERT. NOTE III.
d'où Hz i = polynôme entier par rapport aux o1 à coefficients entiers du corps, sans terme indépendant. Or, les î, étant des entiers de J, il en est de même de tout polynôme en 3, à coefficients entiers quelconques du corps et sans terme indépendant. d'après la définition même d'un idéal; donc + i est de J, c'est-à-dire i est de J et ,I=i. L'égalité I* = (y)J donne donc
Théorème. — Cela s'écrit I.I*-1 = (y), c'est-à-dire que tout idéal multiplié par un mitre idéal convenable donne un idéal principal.
C'esl le théorème fondamental d'où se déduit la décomposition unique en idéaux premiers, comme on l'a vu au paragraphe 5.
NOTE 111 (ANNEXE AU § i;),
Par G. HUMBERT.
Démonstration des inégalités fondamentales de Minkowski pour n formes linéaires à n variables.
Il existe trois démonstrations différentes du théorème de Minkowski, énoncé dans le paragraphe 17 sous les deux formes équivalentes des lemmès 6 et 7 : la première, celle de Minkowski, se trouve dans la Géométrie derZahlen; une autre, de M. Hilbert, a été reprise par Minkowski dans ses Diophantische Approximationen; on la trouvera aussi dans les Vorlesungen uber Zahlentheorie, de M. Sommer, traduction française de M. A. Lévy; une troisième a été donnée par M. Hurwitz dans les GOtlinger Vachrichlèn, Math.-phys. kl. 1897 : c'est celle qui va être exposée.
Les raisonnements restant les mêmes quel que soit le nombre des variables, on le supposera, pour fixer les idées, égal à trois.
Soient les trois formes linéaires
/, = atx + bty + c,;
de déterminant A. En divisant les at, bt, ci par y|A|. on ramène le délerminanl a -h- 1 : si c'est — 1 , on changera les signes de a(, b-, c, , el on aura, dans tous les cas.
Tlll'.iillll DES CORPS DE NOMBRES ALGÉBEUQI i^. ',', \ 'A
trois formes /,' de déterminant + i . Dire qu'on peut » 1 < • 1 1 1 1 < ■ i ;» ./-, y, ; des valeurs entières non toutes nulles, i « • 1 1 « •>- que I on ait
revient donc à dire que, pour ces valeurs, on a
/.Kv/Â
(y A dans le cas de n formes à n variablesji
C'est sous cette dernière forme que M. Hurwitz établit la proposition. Sa démonstration se divise en quatre parties.
Première partie. — On supposera d'abord les coefficients des/, entiers.
Réduction ila système des ft. — On opérera sur x , y, z une suite de substitutions à coefficients entiers de déterminant ± i. de manière à si ni] il i lier les/ .
Soit fi = al x + bty + ctz: si ct est le plus petit (non nul) en valeur absolue des coefficients nt. 6,, c,, on peu! faire en sorte que le coefficient de x soit, en- valeur
absolue, inférieur ou au plus égal à |c,| : il suffit d'opérer la substitution (z; ; — ).x). X entier; le coefficient de. /-devient dt + / c, et peut, dès lors, par choix de A, être>o et <C |cj ; ceux de y et de - n'ont pas varié. Si |a,| est <; \ht\ et |c,|, < • r ■ changera, s'il y a lien, as en — x. On peut donc supposer lf <•, lefficienl de ./■ positif et in m nul. inférieur en valeur absolue à ceux de y et : .
Faisons maintenant la substitution (x, x + \y) : nous pouvons rendre le coeffi; cient de y positif ou nul et < ", ; puis, par (y, y + Xas), diminuer de nouveau celui de x en le laissant toujours positif et non nul: puis, par (x, a; + 7, y), diminuer i\e nouveau celui de y en le laissant positif ou nul, etc. On arrive ainsi à annuler le coefficient de y et de même celui de r .
/, se réduit ainsi à A x, A entier et positif Opérant de même sur/', el y . <>n peut, par des substitutions opérées successivement sur y et r, faire disparaître le terme en r. en sorte que/, = //.c 4- Bv, B>o. Faisant (y, y — \x), on a
/j=6a5 + Bv, avec o</j<B, B>o.
Ft alors f3 = c'x + c"y + C;. où C est = = o. à cause du déterminant qui esl resté le même et est ABC. Par (z, c + '/..ci et (z, z+ f.y), on peut faire en sorte que l'on ait o<c'<|C|, o<c"<|C|.
Finalement, le système est
./; = /-.f+liy, B>o, o<6<B.
/, = c,x + c,y + Cz, o < (c, . cj < |C| .
Et les substitutions opérées étant de déterminant -+- 1. les anciennes variables smit entières en même temps que les nouvelles et réciproquement.
.'■i I 4 G. HUMBERT. NOTE III.
Pour établir le théorème de Minkowski dans le cas où les f{ ont leurs coefficients entiers, il suffira donc de l'établir pour le système réduit. On peut le faire directement, mais c'est compliqué à cause des cas et sous-cas à distinguer. Mieux vaut raisonner autrement.
Deuxième partie. — Disons que deux formes linéaires et homogènes en x, y. : à coefficients entiers sont équivalentes ou congrues (modd /,) si leur différence est du '.M11' \ft +'^2/, + À3/3, les / entiers.
Si s est une telle forme, les a 4- />,/, 4 ÀJ, 4-',/, , sont donc congrues à <s (modd/i).
Soit 'j =3 +- "/ :J\ 4 \f, + ' ,./',. 9 étant donnée; on peut choisir les ), de manière que, dans 1 (on dira que •!/ est réduite) :
r Le coefficient de - (qui est celui de z dans a, augmenté de C/3). suit compris entre o inclus et |C| exclus;
a" / étanl ainsi déterminé, on peul choisir "/ ,, de manière que le coefficient de y suit en lie ii inclus et B exclus ;
3" Choisir )., . de manière que le coefficient de x soit entre o inclus et A exclus.
Alors les formes \ réduites sont nu nombre de |C|BA distinctes. |C[BA est A . déterminant des/j, et. d'après le calcul précédent, toute forme équivaut lïnodd /',) à une el uni' seulr réduite. Donc il y a |A| Jormes ri ]A| seulement non congrues deux à deux, uuiilil J\: parmi elles, celle dont les trois coefficients sont nuls.
(le résultat obtenu par la réduction des f{ est évidemment vrai pour des ft non réduites, puisque deux formes congrues (modd/J le restent si on opère sur les ./•. y. z une substitution de déterminant ± i.
Reprenons alors les J] initiales. Le théorème du nombre des classes de formes linéaires modd/, s'applique dès lors aux formes de déterminant A :
F, = atx + asy + a3z, F, = 6,03 + bty 4 /',- , F3 = ctx + c2v 4- c3z.
Soient /•' et (r+ i)3 les euhes positifs d'entiers consécutifs qui comprennent |A|, de sorte qur r1 ^ \1\ <('' + i)'; considérons les formes i = ltx + /„y 4 l3: . où l'on a o -Cil,. /., . I,)<^r. Files sont (r 4- i>'- y compris la forme nulle. Comme (r -f i i1 ;> j.1 1. deux des •; sont congrues entre elles modd F, , leur différence esl donc '-, !', + '..F, + /,!',, les ), n'étant pas nuls à la fois, car les deux et sonl distinctes. On a dune pour des valeurs des /, entières m m nulles à la fois, — car les deux i sonl distincles, — et comprises entre — r et 4- r inclus ;
K(a,x 4 a,y 4 "4' + \{btx 4 ...) + \{ctx + ...) = ltx 4 ity - I.:.
THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQI ES. 3l5
d'où
/c-.s- |/,| étant <J>, c'est-à-dire -^ |A|a e< tes À, /c/i nuls à la /ois. Le théorème de Minkowski est donc démontré pour des/ à coefficients entiers.
Troisième partie. — [1 esl vrai pour des / à coefficients fractionnaires, car si Scsi
F lé dénominateur commun des coefficients, posons fi = -g-, œ détermmanl des 1;
est S'A. Le théorème étanl vrai pour les F, (dont les coefficients sont entiers), on peut
trouver x, y, z entiers de telle sorte que |F([^S|A|S; donc, pour ces valeurs de
X,y,z, on a |/t|<|A|s. C. q. f. d.
Quatrième partie. — Soient les/, à coefficients quelconques et de déterminant + i . Nous allons obtenir la démonstration en suivant maintenant un procédé d'Hilbert, qui consiste à comparer les formes/ à des formes cpf à coefficients rationnels, suffisamment voisins des premiers. [Voir, par exemple, Sommer.] Soient
/ = atx + bj + c, :. u = < »)
Je dis qu'étant donné un nombre positif o aussi petit que l'on voudra, il esl possible de trouver un nombre e positif et inférieur;! o, tel que, en faisant varier tous les coefficients, sauf un, de quantités inférieures ou égales à s. en valeur absolue, on n'aura à faire varier le dernier en valeur absolue que de moins de l pour que ledéterminant des formes reste égal à -f- i.
En effet, ce déterminant n'étant pas nul, l'un au moins de ses mineurs d'ordre deux n'est pas nul, soit, par exemple, atbt — a%bt-\=o. Soient y.È. [i,. •;, les quantités dont nous faisons varier nt , l>l , c, . En écrivant que le déterminant reste égal à i. on a
le second membre contenant toutes les variations ?.,, p4, •-, . s;ul1 V. rl 1,v V- '*, > C, dépendant des «, , //,, c, et de leurs variations (sauf toujours y3). Il est clair qu'en prenant pour la plus grande valeur absolue de ces variations (sauf y,) un nombre £ suffisamment petit, on aura |y3| <sK, K étant un nombre positif ne dépendant que
des «,. 6j, c, . Ecrivant ek < ;, c'est-à-dire i<i— , on voit que les variations (sauf?.,)
restant inférieures à e. |y,| restera inférieur à 3, et on peut supposer s<3, parce que
si — ">£, on ne prendra que les valeurs de i inférieures à S, lesquelles conviennent
a fortiori.
,'•)!(» G. III MliIKT. NOTE III.
Faisons de plus les modifications de manière à rendre rationnels tous les coefficients, sauf c3, et modifions c3 de manière que le déterminant reste -f- i : c, deviendra rationnel parle l'ail même que les autres coefficients le sont, ainsi que le déterminant. On aura alors trois formes tp,, cp„. ib3, dont les coefficients diffèrent de moins de 8 de ceux des /, . /', , /,, et telles, d'après la troisième partie, que pour des valeurs des ./■. v. z, non nulles à la fois, on ait |s,| -^ i, (/= i, 2, 3).
Observons maintenant que les systèmes de valeurs entières des x, y. :. qui peuvent rendre les |/,|-^i, sont en nombre limité. Car si l'on pose /, = u>, , (<=i. 2, 3). les u\ étant compris entre — 1 et + 1. et si on résout ce système en x, y, r. on trouve des fonctions linéaires et homogènes des w{ dont les coefficients dépendent des ait bt, Cr Donc, les \n\\ étant -^ 1. les ./•. y. z sont en valeur absolue inférieurs ou égaux à une limite linie G : les systèmes des x. y. z entiers sont donc en nombre limité.
De même si les cp, se déduisent des/, par des variations des coefficients inférieures à 5 (le déterminant étant 4- r, comme celui des/(i. on trouve que Les systèmes des x, y. z entiers, rendant les |«,|'^ 1. sont tels que les x, y. z soient en valeur absolue inférieurs ou égaux à une limite G' voisine de G.
Considérons les ,/" et tous les systèmes de trois formes de déterminant •+- ' qui s'en déduisent par des variations des coefficients inférieures en valeur absolue à S, et soit G0 un nombre tel que les x, y, r. qui peuvent rendre un quelconque de ces systèmes <^ 1 en valeur absolue, soient inférieurs à G0 en valeur absolue.
Je dis que parmi les systèmes des x, y. z entiers, tels que (x, y, c)-^G0, il en est pour lesquels les |/j| sont <%Ci-
Supposons qu'il n'y en ait aucun, c'est-à-dire que pour chaque système considéré il y ait au moins une /'K telle que |/K| = 1 +"'-■ (X>o),.K pouvant varier (K= 1, 2, 3) d'un système à l'autre. Soit X0 le plus petit des ) .
La différence entre Jt et sj pour un même système de valeurs des variables considérée-, (c'est-à-dire inférieures ou égales à (I en valeur absolue) est inférieure en valeur absolue à 38G0; si donc on choisit 8 de telle sorte que 3'cG0<^0. la valeur de cpK différera de celle de /'h de moins de '/„. et comme |/K[ = 1 + 1^. 1 +\, |<pK| sera > 1.
Donc si. pour chacun des systèmes xt considérés, un au moins des \J\\ est > 1 . on pourra choisir l de manière que l'un des |-;J soit également > 1 : c'est en contradiction avec ce qui précède, car on a vu qu'on pouvait faire varier les coefficients des 7] de moins (le l de telle façon que, pour un système de x, y. z au moins, les . soient 1. Donc, il tant conclure que. pour un système xt, au moins les trois,/] sont s< 1. G. q. 1. d.
THEOKIË DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. 0 I ~
NOTE IV (ANNEXE AU § 59), Par G. III MBERT.
Questions diverses concernant les bases des idéaux d'un corps quadratique.
En raison des fréquentes applications des corps quadratiques, il ne paraîtra pas i h utile de rappeler ici les principaux résultats classiques relatifs aux hases îles idéaux de ces corps. G'ésl d'ailleurs une occasion de montrer, dans un cas particulier, la .façon d'utiliser les principes généraux du paragraphe y.
Théorème. — Un idéal quelconque du corps k[\/m) est un module de ce corps, déduit de deux nombres fondamentaux, c'est-à-dire que l'on peu l trouver deux entiers
du corps e, il e ,. leN que tout nombre de l'idéal soit du type /,<■, + I .''..- ', et /. étanl (1rs entiers ordinaires et réciproquement.
En eilet , soient n -f /*<,>. at + blui deux entiers de l'idéal I ('): l'entier x(a + 6(o) + y('/, + /',(•'), où .'■ et y sont entiers ordinaires, appartient à I. < >u peul déterminer x et y de manière que bx + bfy soit le plus grand commun diviseur de li el bt , soit //'.
Si a + b (o est un autre nombre de I, il v a de même dans I un nombre où le coefficient de w est le plus grand dix iseur de b' el de 6s, et ainsi de suite.
On arrive ainsi à un nombre A + hu, où h est le plus grand commun diviseur (positif si l'on veut, car — V — /ho appartient aussi à I, comme produit d'un nombre de I par — i i de Ions les nombres b, /*, , /*,
Maintenant —, — étant entiers, les nombres tels que '/ + In.) — — i \ • hu>),
c'est-à-dire a A, qui sont entiers ordinaires (puisque -j- 1 est), appartiennent à I.
1 renferme donc les entiers ordinaires en nombre infini : a — -\: a rA; ... .
(One I renferme un nombre infini d'entiers ordinaires, c'est évident, car si v est de I ,
son conjugué a! appartenant au corps, le produit x'a, qui est entier ordinaire, est de 1. 1
Soit (/ le plus grand commun diviseur positif des nombres entiers ordinaires
ci-dessus : a A. etc., de I : il est clair que ij appartient à 1.
I1) On désigne paro>, selon la notation du paragraphe 59, un nombre qui forme avec 1 une
base du corps k\\ m) ■
.'il 8 G. HUMBERT. NOTE IV.
Alors un nombre quelconque a + 6w de I s'écrit :
a + b ta = - (A + h in) H . q .
= x (A + few) +- y . q , x et y étant des entiers ordinaires, puisque h est le plus grand commun diviseur des //
et q celui des a — —A.
Réciproquement, tout nombre x(A + hw) + y.q, où x. y sont entiers ordinaires, appartient à 1 ; car q et A 4- feu lui appartiennent.
Donc. I est le module de base A + /uo et g .
On peut simplifier en prenant pour base q et A 4- hu> + ()q (h étant un entier ordinaire quelconque), et choisissant 0 de manière que l'on ait
On a ainsi la base q et g + /*<», où q et /; sont positifs (non nuls, comme plus grands communs diviseurs d'entiers ordinaires) et où l'on a
Récipboqi'e. — Le module de base q et g + In» est-il un idéal? Pour cela, il faut et il suffit que
q(x + yoj) + (g + hw)(: + iw),
où x, y. z, t sont entiers ordinaires quelconques, appartienne au module. Comme la somme de deux nombres du module lui appartient aussi, il faut et il suffit que q, <!<•>. g + Iim, oji;/ -f- ht>)') appartiennent au module; '/ et g + hu lui appartiennent. Pour que </(,) lui appartienne aussi, il faut
q co = xq + y i g + h <o) ; d'où
q = yh , o = xq + yg .
Donc : i // divise q ; q = hqt et, par suite, y = gt; et xq= — yg donne alors xhql = — qtg ou xh = — g ; d'où, a" /; divise g: g = hgt. Enfin, pour que o)(g + feu) appartienne au module, il faut
il) i g 4- htù) — xq 4- y (g + // 1>> i .
ce qui, en distinguant m =\l i et m= i, mod 1 , donne
d'où
</ = //y. A/;» = .<•</ + yg ■
'" 9, li div isanl c/. y est un entier gt; ensuite nm = xkqi.+ 9tn Qtre que - — doil
(Mie entier.
>g + h [ 10 H — ) = xq + y (9 + h t.- 1 ,
el •
g + /, = h y , c'est-à-dire, puisque g = kgi :
- — = xq + y a .
ni — i 9, + i = y. h ■ — - — = xhq, + hg^g, -f i),
et dune
doil être entier.
Iti.nr. pour que le module de base q, g -+- ftw, soit un idéal, il faul el il ~ullii que (/ = lu^ : g = hgt et que
si m e|= i . (iikkI 4), g\ — m soit multiple de </,.
si m = t , (mod 'i i . g] + g,
soit multiple de qt
Dans Ions les cas, m est résidu quadratique de q (et même de V/,. si '" est = i, mod 'i ).
L'idéal (q, g + fus) ou (q{h, gji + ht») a tous ses nombres divisibles par h ; il s'écril i'\ idemment
(q, g + ht») = (A) (g,, g, + w),
c'est-à-dire est le produit de l'idéal principal (h) par l'idéal m/,. ;/, {■ ta), donl les nombres ne sont plus divisibles évidemment par un même entier ordinaire. Ce dernier idéal sera dit idéal normal.
Hase canonique. — Une base de l'idéal I : q, g + hw où q el g sont divisibles par //. où q, h sont>o el où g est >o et <'/. est dite base canonique de cel idéal.
// n'y a qu'une base canonique.
Car si q', g' + h'u> en est une autre on a d'abord h' — h. car. d'après ce qui précède, h est le plus grand diviseur commun entier ordinaire de tous les nombres de l'idéal, et de même h' ■
Ensuite, tous les entiers ordinaires de I sont q et les multiples entiers ordinaires
