HUMBERT. NOTE IV
de q (par qx + (g + Iim)y\ de même ce sont (/'et ses multiples; donc '/ = '/. puisque q el 7' sont positifs. Enfin, g' + ftio étant de I, on a : gr' + fi<a = qx + y\g + ht»), d'où y = i , c'est-à-dire g' = qx + g, et comme on a
o < g' < q et o < g < g,
il faut sc = 0 et g' = g. Ç. q. f. d.
Mais il y a une infinité de èrwt's non canoniques, c'est-à-dire de couples a + p<o, a' + p'u. tels que tout entier de I soit x(a + pto) + y(a' + p'a>) avec .<•. y, entiers ordinaires.
Il suffit en effet de prendre
oc + pu = x, q + Y, (^ + /! eu) ,
a' 4- p'u = ,r2 7 + y, (g + h<ù), ■'',' )',• xt' ^ï entiers ordinaires tels que l'on ait
Uors, 7 et 3 + /ho sont de la forme
n(-j. + pu) + //(>' + p'u),
« et «' entiers ordinaires, et tout entier de I étant q\ + (g + /noir,, "z et i\ entiers ordinaires, la proposition est établie. La réciproque est évidente, toute hase s'obtient ainsi.
Problème. — Le module de base a + Ht», a.' + p'u est-il un idéal?
Il faut chercher dans ce module une base canonique et voir si elle satisfait aux relations voulues pour être base d'idéal. On va prouver qu'un module a une hase canonique el une seule.
D'abord ap' — Sa' ne peut être nul. Car soit 2 le plus grand commun diviseur des entiers ordinaires a et p, S' celui de a' et p', on a
a + (3(û = S (a + h m), %' + Jb'co = £'(«' + b'ia) ,
et on a
ab' — ha' = 0, si xfs' — S-/ = o.
( Mi en conclut, a et h étanl premiers entre eux ainsi que a' et //' :
a' = za, h' = ib, s = ±i.
Alors on peut écrire
x + pu = c (a + 6 (o ) . a' + p'u = S, (a + 6 u) .
On peut supposer 8 et 8, premiers entre eux, en faisant au besoin rentrei leur plus grand commun diviseur dans a + lu». Alors a + I>m esl un nombre du module, qui ne comprend dès lors que le> multiples entiers ordinaires de u + lm. In tel module ne peut être un idéal, car celui-ci. comprenant a + 6u. comprendrait aussi t»(a + I>m 1. et o) n'esl pas entier ordinaire.
Cela posé, on aura une base canonique par
x(x + fJu) + y (y.' + Ji'w) = quantité réelle positive q,
a;'(a + fit.)) + y'(a' -+- p'o>) = ,7 + /( w , avec h ^> o ,
° < .'/ < 7 • as/ — yjs' = ± i .
Cela donne px + p'y = o, d'où .'• et y, puisqu'ils sont premiers entre eux ; quant au
signe, il est déterminé par la condition %x + a'v>o. Ensuite, xy' — y.t' = + i donne
as' == s(œ0' + 0 x) , y' = e(v/ + 6y) , e = ± i ,
8 entier ordinaire quelconque, as0', y0' solution particulière. Uors, px' f Vv'>o donne, puisque Sx + 6'y = o,
d'où le signe de e. Et enfin
o < e[«(se,' 4- 8«) + a'(y/ + 6 y)] < 7
ou
o<e(M + 8ç)<çi ir-.n-xx + y.'y — (j)
donne 9 sans ambiguïté.
On trouve ainsi une et une seule base canonique pour le module considéré.
NOTE V (ANNEXE AU § Il8),
Par Th. GOT.
Détail de la démonstration de la seconde expression du nombre de classes d'idéaux du corps circulaire des racines iièmes de l'unité, 1 étant premier.
On part de la première expression, transformée à l'aide de l'identité d'Euler :
y.A = IILim II 1
On a, pour n non divisible par / :
WtI TH. GOT. NOTE V.
v désignant l'indice de n par rapport au module / et à une racine primitive r(r = n, uiod I) ; et, pour n divisible par /, on pose :
îa-
Si n' = n, (/), on a v' = v, ( /— i); donc
Ki-ra-
el l'un a, par suite,
*='-< rA-n* /ii i \
= '.=i LU W + (^H7 + (A- + a// + ' ' ' J '
Mais
- = — / e-"'r-'ii(
n r(s)Jo - + + ...=■=!- f^f-dUe-" + e~(k *' + ...) = -!- r € *' „ i—d/ .
y.A=:IIlim f° ^L. ^- S e"'e '"
Donc, comme r(i) = r , Posons
y./i = IIlim /
F (e~ ') = o pour / = o, car ^ e'— ' =o. Donc, ¥u(e~') est divisible par
F le"') i — e~' , connue i — e ", et la fraction — - — — , reste finie pour t = o; on a donc :
F„u'-' i/*-(// /"» Fv(e-')dt
/•»F„ic-'ir-'(// /""F
s=i ./o i — t Jn i
Posons e ' = x, e '/Il = — dx. L'intégrale devient
' FJx)dx
En décomposant en fractions simples, "il a :
y." — e i -</•-• fc=i i
A-=l Si*
en posant 0 = el— '.
.S'o(7 « impair. — On a :
D'ailleurs.
jf-As--(-ÇK
L désignant la partie réelle du logarithme.
Pour deux valeurs </. q' complémentaires à /. le L a même valeur, et
indq'=mdq + -^^, e"",,,d«' = — e~"" ''.
car u est impair.
Les termes logarithmiques se détruisent donc dans la somme.
Puis - S8 uind* = o, car u==o, {I — 1 > .
Reste ^v7f,-»in'";
et par suite le produit relatif aux valeurs impaires de u se réduit à
7] J IIF.(e ' ) nSç8»tad«.
(On a changé H en 0~' dans le second produit, ce qui est permis, les valeurs de u étant deux à deux complémentaires à / — 1.)
îi-
Quant au premier produit II„F„(<? ' ), on remarque que, d'après des formules de la division du cercle ,
■li- 2i-
F„{e-T)xFl i,Xe~T)=±l, suivant que u est pair ou impair, et que
