EL A

(a/,) * remarquons qu'en changeant un peu les notations et posant

Àf=V(i-c*)'C' -:-r').

on a e = — — , et. par suite. log=B= LA5— LAff,, et l'on trouve alors

ae-«» lab(i — e'-")=iog -, + e'iogs, + •... + o~" îog :/i .

( iomme

ll(i-e-") = .

et que

LIS8"log8^,= la formule esl démontrée.

IllO'-lug :„.,=— A.

THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGÉBRIQI In. 3ï5

NOTE VI (ANNEXE AU § 172), Par Th. GOT.

Recherches sur le théorème de Fermât, faites par Kummer et divers auteurs, postérieurement à la démonstration de l'impossibilité en nombres entiers de l'équation

(■) xl + y' + z'=.o,

donnée par Kummer pour les exposants 1 premiers réguliers.

La fondation récente du prix Wblfskehl a donné un renouveau d'actualité à la question du théorème de fermai el a suscité un grand rj bre de travaux s') rapportant. 11 nous a paru intéressant d'indiquer l'état de la question à la lin de igi 1. Mais pour comprendre la portée des travaux: actuels cl même les méthodes qui ont inspiré certains d'entre eux, il est indispensable de se reporter aux résultats obtenus déjà par Kummer il y a cinquante ou soixante ans : il a d'abord démontré l'impossibilité de l'équation de Fermai pour les exposants / premiers réguliers (c'est-à-dire ne

di\ isanl le numérateur d'aucun des premiers nombres de Berni mlli) . c'est < o

théorème que le dernier chapitre du Rapport de M. Ililbert est consacré; Kummer a ensuite, dans un Mémoire de i.N.V 1 Ibhandlungen der Kônigl. Akad. der Wissenschaften :u Berlin), étendu la démonstration à la classe particulière suivante d'exposants / premiers non régulier^ :

1° / divise un seul, B,, des premiers nombres de Bernoulli el une seule fi lis :

2° il existe un module pour lequel une certaine unité E, n'esl pas resté de /■'""■ puissance;

3" B»; n'est pas divisible par l' .

C'est à l'exposé de ce résultat que la plus grande partie de la présente note est consacrée : tout en suivant la marche de Kummer, j'ai apporté à ses démonstrations les changements nécessaires pour les l'aire cadrer avec la conception actuelle des idéaux (d'après la définition de Dedekind) et a\ec les procédés et les n<>lali..u- du Rapport de M. Hilbert. A part deux exceptions relatives à des questions très simples, pour lesquelles je renvoie le lecteur aux Mémoires de Kummer, je me suis

d'ailleurs astreint à réunir clans ma Note, lorsqu'elles ne se trouvaient pas déjà clans le Rapport, les démonstrations de toutes les piopositions utilisées : on n'aura pas ainsi à les chercher dans plusieurs longs Mémoires de kummer oc'i elles sont disséminées; j'ai, du reste, pu, sur quelques points, abréger notablement les calculs, soil en traitant d'une manière unique les cas des idéaux premiers du premier degré et de ceux de degré quelconque, soit en utilisant les résultats du Rapport. Exception faite des deux exceptions mentionnées, la lecture de notre Note n'exige donc, en dehors de l'étude de ce Rapport, aucune étude supplémentaire. J'ai conservé, pour les renvois aux théorèmes ou paragraphes, et pour les références bibliographiques, les abréviations de cet Ouvrage, et j'ai distingué par des chiffres romains les divisions cl les théorèmes de la Note.

Parmi les travaux récents , nous nous contenterons — renvoyant pour les démonstrations aux Mémoires originaux - d'indiquer les plus importants des résultats obtenus, soit en partant de ceux de Kummer [Mirimanoff, Wieferich, Frobenius], soit dans un autre ordre d'idées, voisin de celui de Legendre [Dickson. Hurwitz],

L'étude de l'équation (i) est entièrement différente suivant que l'un des nombres x, y, : est ou n'est pas divisible par /; nous examinerons donc les deux cas successivement.