I. — Étude dl cas ou xyz n'est pas divisible par

S I. — Étude i/'un produit particulier d'idéaux conjugués.

Théorème 1. — Soit r une racine primitive, module /, et désignons par /•„ le plus petit reste positif de ;•", module /, et par s la substitution (Ç, "J ). j désignant un

idéal quelconque, le produit I I .s'j est toujours un idéal principal, lorsqu'on l'étend

soit aux valeurs de k vérifiant l'inégalité

(3) r/, + »"— /,+iud? <C /,

soil aux valeurs de k vérifiant l'inégalité inverse. 7 désigne un entier quel-

conque non divisible par /; l'indice est relatif à la racine primitive r. module /. [Kummer6].

Démonstration. — Nous allons démontrer d'abord (lemme I) que le théorème est \iai pour tout idéal premier du premier degré. iVous établirons ensuite (lemme lli que tout idéal premier de degré quelconque est équivalent à un produit d'idéaux premiers du premier degré, ce qui achèvera la démonstration.

THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES Al.i.l' HHli n l s. 'j-j-j

Lemme I. — p ri, -ml un idéal premier du premier degré, le produit I \skp, étendu

aux mêmes valeurs de I: que <i-<lc~Mi>. est un idéal principal | ' i.

Suit, en effet, p le nombre premier rationnel divisible parf»; il est de la forme

ml+ 1, puisque p est du premier degré, et il se déc pose en /— i facteurs

<•onjugu.es :

D'autre part, on a la formule suivante, de la division du cercle :

dans laquelle ^(Ç) désigne la somme

il-n(Ç) == V Çind'+jiodfV+l),

où les indices sont pris par rapporta une racine primitive g, module/». (Voir, par exemple, Weber, Algèbre supérieure, i Soit, d'autre part,

( \ oir note du § o,3.)

Cherchons à quelle condition l'idéal

«■si un diviseur de <]>.(&)■ Il faut et il suffît pour cela que la division de ■} (Ç) par C — g'" donne un reste divisible parp. Pour avoir ce reste R. (mod p), 1 s remplaçons 'Ç' par g'", c'est-à-dire '1 par 3""' , et nous avons

1=/'— 2 t=ji—2 l=p—\

R = V g|mr-*(ind(î+(?iDd<+!)^ V i»ir-fy+ i)?m>-*= V |«i/ + I H«"', llii"il/H, '=1 r=l fc=i

<m encore, en remplaçant mr~' et mqr~k par /;rr t et /n r k+ini q , ce qui ne modifie pas les exposants pour le module ml = p — 1 :

R = V /»"-A(/+ l)'"r-A-+ind».

l'i Ce lemme est identique au théorème 1 36, si l'on prend q = r — 1: en raison de son importance, nous en donnons une autre démonstration, d'après les procédés de Kummer,

3a8 TH. (iOT. NOTE VI.

En développant parla formule du binôme, nous aurons ... • e=p— i

expression dans laquelle les au sont des coefficients binômiaux, dont aucun n'est divisible parp, puisque l'on a

mr—k+inà q <CP — 1 •

Les sommes V t" sont divisibles par p, sauf si t" est congru à i, module p,

c'est-à-dire, — u étant compris entre zéro et 2p — 2, — si m est égal à p — 1 . La condition nécessaire et suffisante pour que R soit divisible par p, et que, par suite, sAp divise '}(?). est donc que la plus grande valeur de u soit inférieure à p — 1 :

mr—k + mr—k+màq < p — 1 , ou. en divisant par m :■

>'— A + ''— A-+inrl<?< I ■

Or, de deux nombres /r et a + Al1), l'un vérifie l'inégalité ci-dessus et l'autre l'inégalité inverse (car r.++k = l — ''—a); par suite, la moitié des / — 1 idéaux premiers de p divisent 'f.(ï) et l'autre moitié <l (Ç l), — comme onde voit d'ailleurs a priori en changeant £ en Ç-1 ; — et comme •l('Ç)^Q('Ç~'), qui est égal à p , ne contien l que / — 1 facteurs idéaux, on a nécessairement (2)

et

jj«i-*i» = ±r*-K(r).

/t prenant, dans ces deux produits, les valeurs vérifiant l'inégalité (3) ou l'inégalité équivalente :

( 'l I /V-A- + Tji— fc+ind; > /•

Ces produits "sont dune des idéaux principaux. C. q. f. d.

(-) E(Ç), unité à introduire dans le produit, est nécessairement de la forme + "". car

ty:).Ki:r>= 1. (Théorème 48.)

Lemme II. — Tout idéal premier p de degré quelconque / est équivalent à un produit d'idéaux premiers du pn mier degré.

II suffit évfdemmenl de démontrer que tout idéal premier de degré supérieur à i est équivalent à un produit d'idéaux premiers de degré inférieur. Nous allons poui cria déterminer un nombre F(ï). divisible par p une fois et une seule, et dont tous les autres facteurs idéaux premiers <\ soientde degré Inférieur. <in aura donc