I- . -»!Iq

et comme la norme de 1 1 o < ■ > I un entier N,

\ =; riq .si In .sTlq s'-'Uq,

on aura ainsi montré l'équivalence de p au produit sITq.sTlq, ...s' ' 1 1 q . dont tous les idéaux sont de degré moindre.

Pour le nombre l-'i'i. il suffit de prendre V(Z)-i-/>. en désignanl par P(x) le facteur correspondant à p clans l'équation fondamentale décomposée, i Iule /<. en

ses e = facteurs irréductibles :

x'-l+x'-+... + i=P(x .P,(x)...PM(x), I p .

de sorte que l'on a

P={p, P - (voir théorème 119).

Pour démontrer que F(Ç) remplit bien les condition-, indiquées, remarquons que le premier coefficient de P peut 'tre pris égal à 1 et démontrons que le dernier est alors égal, module p. à ( — 1)^. Considérons pour cela l'équation

•l>k(x) = x< + kfajaf- + ... + \f(ra) = o

dont les racines sont les racines de l'unité formant la période t\k(rlk — £r* -f lrt + ... ■+■ v ")■ Le produit de ces racines de l'unité étant égal à r, on .1

Le produit I I 'J\(x) est un polynôme à coefficients entiers, — cai ces coefficients

sont tles fonctions symétriques des périodes, — et il est identique au premier membre de l'équation fondamentale, — car il a même degré, mêmes racines et même premier coefficient. Soit, d'autre part.

l'équation de degré e, à coefficient- entiers, dont les racines sont les e périodes à /

termes : cette équation, considérée 1 une congruence, module p. a e racines u, .

[Kummer3.] Faisons correspondre, d'une façon quelconque, ces dernières aux périodes

330 TH. (iOT. NOTE VI.

ri substituons clans les 'J>, les uk aux rn. Puisque les fonctions symétriques élémentaires des uk seuil congrues, pour le module p, aux mêmes fonctions des périodes, on a la congruence

.•:'-' + .r'~- + ... + 1 = ] [ <\\(.r. uk), (mod p). /,=o

Connue le polynôme x'~' + ,r'-2 + ... + 1 ne peut être décomposé de deux manières différentes en facteurs irréductibles, module/), les Pj(x) ne sont autres, à l'ordre près, que les <I>A(.r, uk), ce qui démontre notre assertion sur la valeur du dernier coefficient de P(x).

Dès lors, P(Ç) +/>est :

t" Divisible par p :

2° Non divisible par p\ car tout nombre divisible par p2 doit, après division par P(Ç), donner un reste divisible par/)*, et ici le reste est/);

3° Non divisible par un autre facteur p, de p. égal à (/> . Pt(Ç))> car le poly- DÔme l'i.ei n'est pas divisible par Pt(.r), mod p:

li" Non divisible par un idéal premier de degré supérieur à /, car P(Ç) est de degré /'el le premier coefficient est 1 ;

5° Non divisible par un idéal premier de degré/ autre que p, car, soit q , égal à (7. Q(0), un tel idéal: le reste de la division de P(x) +.p par Q(x) est P(x) — Q(x)+p, el il n'est pas divisible par </, puisque les derniers termes de P et Q étant égaux (à ( — 1 )r\ le dernier terme du reste est p.

Le nombre F(ï) = PÇÇ) + p remplit donc les conditions que nous avons utilisées et le leinnie II se trouve ainsi démontré, ce qui achève la démonstration du théorème I (').

S II. — Le critérium de Kummer.

Théorème II. — Si trois entiers rationnels x, y. :, premiers entre eux et à /, vérifient l'équation

chaque couple de deux quelconques d'entre eux, x. y. vérifie le système des / — 3

u. — 1 congruences suivantes (z) ;

</,--" log (x + e"y) . . .

(:> B„— — - = o, (mod/).

du1--"

11) Le Icmme II est vrai pour un corps de Galois quelconque (théorème 89), il nous a paru utile d'en reproduire la démonstration particulière au corps circulaire.

,/! -m [-) ,"-— désigne la valeur de la dérivée (/ — -211)" pour 11 = o.

IHIUKIL DES CORPS DIS NOMBRES Al.i.l'lHUnl ES. Ml

En effet, l'équation peul s'éci ire

Les facteurs du premier membre soni premiers entre eux deux à deux, puisque x el y si m t premiers eu Ire eux el que : esl premier à I (voir S 17 ■ : donc, leur proiluil étant une puissance I "" . chacun d'eux est, à un l'acteur uuilé près, la puissance

i * d'un idéal. On a donc

'' - Cy= :)'• et, par suite,

fi désignant toujours La substitution (Ç, £*")).

Donnons à fe les valeurs vérifiant l'inégalité 1

'V-A 4" 'V— A+ind? > /.

el formons le produit des x — Çr*y étendu à ces valeurs de k . on sait tbéorème I 1

que le produit 1 T s*i correspondant est un idéal principal (a). Quanl au produit

T **£, il se réduit, au signe près, à une racine /""" de l'unité 1 théi irème J8 , cai son

a module est égal à -+- 1 , puisque l'on a pour la norme :

n(e)=JI«*«- JI^+frs = ± 1

et que T T et 1 qui se déduisent l'un de l'autre par le changement de 1 en Z '

A n+ft

sont imaginaires conjugués. On a donc

On en déduit (voirS i3i, note), les congruences

,~ vWfr^" log (x + e'"-\v ,

(6) V- 2 i ^ = 0, (mod /i.

pour /1 = 1, 2. ..., y. — i, c'cst-à-di re encore

^l0gf/-f"vlV, *SOl (mod/)-

du'-*" —

Transformons * . de manière à étendre la sommation à toutes les valeurs de A-

a=/-i de r à / — i, en multipliant chaque terme de ^ p*i*-»»i par [a fraction

Kf.—lt + 'V— A+in.l? — 'V— fr+ind((/+l)

égale à i lorsque la valeur de k est à conserver, égale à o dans le cas contraire.

( )n aura

y rW 2,0 V 'V-a- + 'V-A+in.iy — /y-/,-+ind(?+i) r,f(/,2llK

ou, en multipliant par /et remplaçant rk,l~~") par rkt*l~""' qui lut est congru, mod /. / V rw-t*) = V [,v& + /V.,,+|,„ly r„/c+i„d(?+i)]rW-2«) , (mod F).

il suffit d'évaluer la seconde somme

les deux autres s'en déduiront en effet par le changement de q en t et en 7+1. Posons dans cette somme

ly. — A+indt/ ',

1 prendra toutes les valeurs : t. 2, .... / — 1, comme k; on a d'ailleurs

/y-A+ind, = (', (mod /),

d'où mi tire

/■* = — 4, (mod /).

et par suite

' = — ■/(«.»] - (mod / ) ,

ou encore

rw;-.»)__^(t-.»)j!(.»-.)? (mod/»),

car /"'l| esi congru à 1 pour le même module.

< tu a dès lors

/ V ,■"' »> = — [1 + q'1'-"* - (7 + O'"-""] 2 '""""". (mod F).

Mais on a, d'après la formule sommatolre de Ben lli (voir La noie du S i ."■» — j

d'où en divisant par /. revenant au module /. el tenanl compte de ce que l'on i

= n 4- (an — r )

2 Va

el que l'on a(')

Jb±2- =(,)*.?!, (mod/).

la congruence

( )r. '/ peul ii m jours rire choisi de manière à ce que le crochel ne soit pas ili\ i > i 1 >1< ■ par/: on a donc bien,- en portant L'expression de * ;•' ' ' "' dans les congruenccs (85

les conditions

B..-= ^ 'Ji = o, (mod/),

qu'il s'agissait de démontrer.

S III. — Impossibilité de {équation I i l en nombres entiers r. y. ; premiers à I. quand I ne divise qu'un des premiers nombres de Bernoulli.

Théorème III. — Si le nombre premier / ne divise que l'un des premiers

nombres de Bernoulli et qu'une seule l'ois, l'équation 1 1) est impossible en nombres entiers ./-, y, z premiers à /. [Kummer16.]

Soit v le rang du nombre de Bernoulli B. qui est divisible par /.

/ — 3 Si v n est pas , on doit avoir, d après le théorème II. la congruence

< log {x + e"y) du'

c'est-à-dire

xy(x — y)

= o . (mod / 1 .

(x - vi'

= o. (mod /),

l ' l Kummer, / 'eber rin? allgemeine Eigenschaft der rationalem Enlwicklungs-coêfjicienten einer bestimmlen Gattung analylischen Functionen. (S. de d'elle. I. XLI.) — On pourra se contenter de voir P. Bachmans : Niedere Zahlenlheorie. Zwèiler J'eil. Erstes Kapitel.

IVMi TH. GOT. NOTE VI.

ainsi que les congruences analogues, relatives aux autres combinaisons de x, y, :. On doit donc avoir a ' = y et, par suite, x = y = z; mais comme on doit avoir, d'après le théorème de Fermât.

x + y -f z = o, (mod l) ,

il en résulterait 3x = o, ce qui est impossible, / n'étant pas égal à 3.

v ne pourrait donc être égal qu'à ; mais alors ou aurait, d'après le critérium,

d) log (se + e"y)

c'est-à-dire

du'

xy ( x — y ) (acs — toxy + y

= o, (mod /) ,

= o, (mod /).

el par suite aussi

(x — y) (a;s — loxy + y*) = o, (mod /), (x — z) (x2 — io,r; + ;8) = o , (mod /).

( tu ne peut avoir x = y, car alors on aurait ; = — 2X et la deuxième congruence dev i end rail