x3 = o , (mod

< 1 1 1 i est impossible, / n'étant ni 3 ni 5. Enfin, on ne peut avoir non plus

x° — io;cy + ys = x' — ioxz + z* = o, (mod /),

car. avec x + y + z = o, on en déduirait

1 1 x(x + 2y) = o, (mod /) ,

ce qui est impossible, car on ne peut avoir x = — iy. I n'étant ni 3 ni ."), et d'autre part / n'est pas non plus égal à n, qui est régulier comme 3 et 5. (',. q. f. d.

S IV . — Recherches récentes sur l'équation i i ) dans le as où xyz n'est pas divisible pur I.

Les recherches récentes relatives à l'équation ( i ). dans le cas où xyz n'-esl pas divisible par /. ont presque toutes leur origine suit dans les travaux de Ruminer, soil d;ms ceux, plus anciens, de Sophie Germain cl de Legendre.

Miiimanofi' s'est placé au premier poinl de vue dans son Mémoire : L'équation indéterminée x' + y' +- zl=o el le critérium de Kummer. (.1. f. d. r. u. a. Mathematik, tome (A\\ III ). En discutant les congruences (5) il a établi le théorème suivanl :

THÉORIE Mis C 'S Dl MiMiiids LLGÉBRIQUES. 335

Théorème IV. — L'équation (i) esl impossible en nombres entiers premiers à /. si les nombres de Bemoulli B/-s, B/— ., 15/-:, B/— g ne sonl pas tous divisibles par l.

D'autre part, il montre qu'on peul éliminer de la façon suivante les nombres de

Bemoulli des congruences de Ruminer : en désignant par a,(t), pour i= a, 3 /— i,

]r polynôme

ç,it) = t — a-'/' + S'-/3— ... + (— n'N/- d'-'/'-

ol par zt(t) le quotienl

/ représentant l'un quelconque des rapports des trois nombres x, y. :. ces congruences équivalent au système

Oj<p,j = O, (i=!,3, . (— i),

VVieferich (Za/n letzten Fermatschen Theorem. J. f. d. Matbematik, tome CXXXVI) a déduit des congruences de Mirimanoff le critérium suivant :

Théorème V. — Pour que l'équation i i puisse avoir une solution, x, y. : étant premiers à /. il faut que le quotient de Fermât

suit divisible par /.

De nouvelles démonstrations, plus simples, de ce critérium ont été données par Frobenius (Sitzungsberichte Sir lu Ak. d. Wiss. zu Berlin. ■> décembre 1009, et ././'. </. Maihematik, tome CXXXV1I), et par Mirimanoff (Sur le dernier théorème <le Fermât. J. f. d. Mathematik, tome CXXXIX).

Mirimanoff a montré en outre que :

Théorème VI. — Pour que l'équation 1 1) puisse avoir une solution, x, y, : étant premiers à /. il faut que le quotient de Fermât

soit divisible par /. (fi. /?.. 24 janvier 1910.)

Dans l'ordre d'idées de Legendre, Dickson part du théorème de gophie Germain que nous reproduis' ms :

Théorème VU.-- S'il existe un nombre premier impair p tel que la congruence .•■" v" — :" = o. 1 mod p), soit impossible en 11 bres entiers premiers à p et tel de plus que n ne -"il pas

résidu de puissance n"""\ module y*, l'équation x" + y" + :"=o n'a pas de solution en nombres entiers x, y, z premiers à n.

Il en déduit par des méthodes nouvelles l'impossibilité de l'équation (1) avec .ry: ='=(>. mod. /. pour tout nombre premier / inférieur à 6867. (Dickson, On the last theorem of Fermât, février 1908. Messenger of Mathematics, tome XXXVIII, et deuxième note, mai 1908. Quarterly Journal of. P. a A. Mathematics , tome XL.)