En de m cas où .vy: est divisible par

Nous allons, avec Kummer, examiner le cas particulier où / remplit les trois conditions suivantes :

1 / divise un seul B, des / — 3 premiers nombres de Bernoulli et une seule fois;

2" il existe un module pour lequel l'unité

E » = ïOc)''^-' . . . (>-' s)r-^-l> .

où i désigne l'unité circulaire définie au paragraphe i38 :

(i-çr)(i-Cr)

n'est pas résidu de /"'""' puissance;

.1 I!,; n'est pas divisible par F.

Dans ces conditions, l'équation (1) est impossible, même avec l'un des nombres .'•. y. 2 divisible par /. [kummer16.]

Pour arriver à la démonstration, un certain nombre de théorèmes préliminaires sonl nécessaires : ils feront l'objet des paragraphes VI. VII. VIII, l\ el X. Auparavant, démontrons d'abord le

Théorème VIII. — Les deux premières hypothèses faites entraînenl que le second facteur du nombre des classes n'est pas divisible par /.

Pour cela, nous allons montrer que, dans la première hypothèse, ce second

facteur — ne peut être divisible i><ir I que sFl'unité E, est la I'""' puissance d'une unité.

Reprenons en effel les notations du paragraphe i3g : si — esl divisible par/, le déterminanl du système 1117):

THEORIE DKS CORPS DE NOMBRES AU.l'liUlui Is. [','',-

l'est aussi ; d'où l'existence de \i. — i nombres \,. aon tous divisibles par /. el tels que toutes les sommes V \, M„ le soienl : l'unité ]Tï,N esl donc la /"' puissance

d'une unité E el on en dé luit, comme au paragraphe i3q :

I!, N4 = o, ( mod l), u i • • ii

Or, les li, sont tous =|=o, (mod l), excepté I!,; il l'a ni donc que h m s 1rs X soienl =o, excepté Y. On a, par suite, K' désignant une unité :

Exprimons ev avec les unités circulaires selon la formule 1 109) Ev = el«-DK(.) — e»„(s ç)«, . . . (.r---i)" -S ,

, 1 — s*ou l'exposant symbolique Fin) est é^al à , de sorte qu'on a les con-

gruences

n, = ; — , (mod/), (i=n.i n--)

Posant alors

Nv = — mr2v(i — /•-"), (mod /) .

on aura pour l'exposant de s'e dans E' :

N»n, == /nr2v(r-2i'+')* — 1), (mod/), u=o,i, .n— *i

On introduit aisément l'unité si1- 's en tenant comptede ce que la norme esl 1, et on arrive à la formule

e"='eT,

E" désignant une unité et E» étant e(si)r~î"... (si'-,s)r-ï(|,-,)\

Enfin, m n'étant pas divisible par /. on peut déterminer deux entiers a et 6, tels que am= 1 + bl, de sorte qu'en élevant E"' — E™ à la puissance aiia" el remplaçant «m par 1 + 6/, on a

E'" désignant une unité.

Dans ce cas, l'unité E, est donc résidu de l,ém° puissance pour tous les modules.

Si donc nous supposons qu'il existe un module pour lequel l'unité E, n'est pas résidu de /"""puissance, le second facteur du nombre de classes n'est pas divisible par /. C. q. f. d.