III. (iOT
NOTE VI
§ VI. — Définition et propriétés ili-s logarithmes pour le module I" ' .
Soil/iLj un nombre non divisible par (, c'est-à-dire tel que/(i) ne soit pas divisible par /. l'osons, pour abréger,
et considérons le développement purement formel
« , i » (— iT" ,
qui serait égal à log (i — x), si l'on avait \x\ < i .
Nous allons montrer que le nombre des termes de ce développement non divisibles par /" "' est limité, et nous conviendrons de dire que cet ensemble de termes
est congru pour le module /" ' au logarithme de '- — — ; nous écrirons
te{j$]=*-\*+i'*-- ■■■ (mod/"')'
en employant le même signe log que pour les logarithmes népériens, mais uniquenirul comme notation abrégée. [Ruminer17].
x est divisible par i — Ç, c'est-à-dire par l'idéal 1, et / est égal à I'-'; un ternie quelconque du développement est divisible par une puissance de I, — par !"', si le rang m de ce terme n'est pas divisible par /, et, si ce rang est ml", m n'étant pas
V"1" divisible par /, par ()l)„ , où l'exposant du numérateur est toujours supérieur à celui
du dénominateur; l'exposant de cette puissance de 1 augmente indéfiniment dans les deux cas avec m . il Unira donc par être supérieur à \n + i)(/ — i), ce qui montre qu'à partir d'un certain rang Ions les termes sont dix i si blés par /" '.
Théorème l\. — On a, au sens qui vient d'être défini, la congruence
./ou ° L/(. )'-*! + ^ </«'■"' '■ '
(lllod /" "),
N/'.') désignant la norme, l'indice o indicjuanl que l'on fail « = o dans les dérivées kl"' "'"'- de log /'(<•"). et \( '.') désignant le polyn? •
où /• esl une racine primitive pour le module /. [Kummer ".]
théorie des Corps de nombres algébriques. 33g
Ordonnons, en efl'et. la différence /( i | —f(Ç) suivant les puissances de i — 1. de sorte que l'on ait
/(0-/(Q = A,(i-0+ Vm - :r + ... + A, ,(' -■"'•
les \, étant «les entiers rationnels, l >n en déduit
Remplaçons .' successivement par tous ses conjugués .' . - |iuis ajoutons toutes ces égalités multipliées respectivement par r— **'"; on a
" v V-» log I "££T| Jv; v <v— "<,-:^ — • L/(i)J - — '</<>"
On a. en développant | i — y'1)' et sommant d'abord par rapport à h .
En désignant alors par P, la somme
et en partageant la somme » en /sommes partielles, correspondant respectivement
à *' = o, s= i, ..., s = / — i, (mod /), on obtient
Pour transformer cette égalité en congruence relative au module /" ', démontn >ns d'abord que P, contient toujours autant de facteurs / que i. Si t n'est pas nul, chaque terme de P( contient /autant de fois que i : c'est ce qu'il est aisé de voir, à l'aide du théorème suivant, facile à démontrer :
« Si p est un nombre premier et que le nombre A soit représenté dans le système de numération de base p par
\ = u + aj> + ... +am lP"-.
l'exposant de la plus haute puissance de p qui divise A! est
P — > [Kummer '-.]
Quant à I',,. il contient de même autant de facteurs / que t, car la somme P0 + P, + ... + P;, étant la somme des coefficients binômiaux alternativement
changés de signe est égale à (i — i)' = o.
1> Les -- peuvent donc être considérés comme des entiers pour le module TJ|, et
l'on a, pour toute valeur de i, en tenant compte des congruences XA(C) = sh'l"\k(l) et XA(i) = o, (mod f.î') :
V : — = -. [l*7" P, + 2W"PS + ...+(/ — I )*'" P. 1 X..( X) , (mod M-
Si l'on développe, d'autre part, (i — e")' par la formule du binôme et que l'on prenne la /,-/""'l"e dérivée pour u = o, on a
df(y-e»)
do*'" — ' ( a- ! (7 — s) ! '
d'où, en décomposant cette somme comme plus haut et tenant compte de la congruence
(s + mQM" = **<", (mod /""'),
un déduit la congrucnce
^L__ =[l«-pt + a«»Pi+...+(/l)«.pt t]i (mod/"').
( )n a, par suite,
— t ~ i do*'" ' *
(ï), (mod /" 'i.
et
-/an
"-^ //(i)' '' do*'" ' aU
), (mod /" ').
„ r, ( i — ?" i' Or, daprès'OoV la somme » — '- n'est autre chose que le dexelupi
, c est-a-dire d
lemellt,
irdonné suivant 1rs puissances de i — e", de lu - log/(i)(').
e log ,/'w" )
(') lu;; désigne ici le logarithme ii<-[>t;ricn , car <•" étant égal à i pour a = o, le développement ir la série de Mac Laurin est convergent dans le voisinasse de 11 = 0.
On a donc
(n) V r-hkf log
yc:'-*r /(o
Xt(Ç), (mod I" ').
Donnant alors à A- les valeurs i. 2 /— -, . faisant la somme, et mettant à part la
valeur h=o, on obtient, en remarquant que /•-'''" + r -/>l" 4- ... 4. j — ('— 2)4/" es| congru à — 1 pour le module /"'',
1 r/rai , rx /V:i I dl"logf(e»)
c'est-à-dire la formule (8) qu'il s'agissait de démontrer.
Cas particulier. — Dans le cas particulier de n = o, on a simplement, comme \/u> esl congru à 1, ainsi que/| 1 |,-\ pour le module / :
car on a 1<
<'-*log/(e")v
du1'
X,s(0, (mod/),
rp-J-°'
(mod /). vu le théorème \ qui va être démontré.
Application. — Comme application, nous calculerons le logarithme, pour le module /, de l'unité fréquemment employée
e.(o = £(?) . k?y-tn . =(Or 4" ... c(:-,-')>--^-"",
expression où s(Ç) désigne l'unité circulaire (§S 98 et i38)
On a
lOÊ
^2-*i2^ES
! mod h:
la congruence des deux derniers membres résulte des relations
rA+li = rA et ,.2(/, + ^)n = ,.-2An> (mod /1,
et de ce que e(î;''"+*) = s(Ç-''*)z= E (:/■'' 1.
On a donc d'après la formule (9), où l'on prend n = o et /(*) = s(*), la con-
eruence
l0& Lë^ôJ = 7 — rf^~ - x-"(ç,>' (mod/)'
Pour calculer la dérivée qui figure clans le second membre, partons du développement connu
i i i B.u B.u' B.ir
fi!
qui donne, si l'on change u en r\i et qu'on retranche le développement ci-dessus du nouveau multiplié par r :
r i i (r — i)B,« (r'— i)Bu3
il en intégrant :
log
— (r— i)u = logr (r— i)n +
la constante d'intégration étant égale à log /'. comme on le voit en faisant <<=o: on ; par suite.
logs(e") = log -3 . — — = logr H -J v — - + ....
< >n a. dès lors.
nu in
et enfin (i4)
'"H îiTr!]SEI~ir'(,'î"~,1^x",-:)' (moc1°-
Remarque. -- L'utilité des logarithmes pour le module l"~' tient, d'une part, à ce que, évidemment, ces développements ont la propriété fondamentale qui correspond à celle des logarithmes eux-mêmes : le logarithme d'un produit est congru à la somme des logarithmes des facteurs; — et, d'autre part, au théorème suivant :
Théorème X. — Deux nombres congrus pour le module /""', ainsi que les entiers qu'on en déduit parla substitution de i à t, ont aussi leurs logarithmes congrus pour le même module. Ruminer'-.]
Démonstration. — Si. en efIet,/(Ç) et »(Ç) sont ces deux nombres et qu'on pose
logl = 03 X+-X — ....
■ (urodr1).
On a, > u lès h\ pothèses,
./■ = y, (mod /" ').
d'où é> idemmenl
-fc = P o "" ')•
.in i ni lins si /,- n'est pas divisible par /. Mais cette congruence esl \ raie même si k esl
un multiple de /. soil cl", /' étanl la plus haute puissance de / qui entre dans /,• : car
en posant
la formule du binôme donne
yff = ,,-/" + cin+a+\xct«-lz (mod / *),
et, par suite,
vcl" ,.W"
- =— . (m0df-).
Les deux développements iog 1-—- et lo« -*— -
L/(OJ L?C)
etanl congrus tenue à terme.
le théorème esl démontré.
% VII. — Expression de l'indice de l'unité l\0
Étant donné un idéal premier quelconque p, de degré/, il esl possible de déterminer une racine primitive p(>) de cet idéal, telle que l'on ail
l> désignant le nombre premier divisible par p. Cette racine étant ainsi déterminée, l'indice d'un nombre quelconque * du corps c(Q est le même, soil qu'on le prenne par rapport à la racine p. soit qu'on le définisse comme au paragraphe n3. En
d'autres termes, si l'on pose
p/-i a = p', (pi. =Ç>' = a ' , (p).
on a toujours
Pour déterminer l'indice de l'unité E„(ç). nous allons d'abord établir les propriétés fondamentales du nombre
q- (£\ __ v»— (?+i)A + Ind|f''+l|
('l Voir Hilberl, paragraphe 9.
344 rH- GOT- -NOTE VI.
où l'indice a la signification qu'on vient de rappeler et où la sommation s'étend à imites les valeurs
à l'exception de
h = -(pT-i).
valeur pour laquelle p* + i serait congru à zéro, et pour laquelle l'indice n'aurait pas de sens. [Ruminer12.]
Première propriété fondamentale : V ne dépend que des périodes à f termes. En efTet, on a
(p* + if = ?*p + i , (mod p) et par suite (mod pi:
donc, on a
1]f /J-J>\ __ v^|î+l)/!/)-f/,Indi;.'<-li — - v ^— (v+li/iyi + lndi }''-!- Il'' v ■-— {q+ l)Ap+lDd(f*P+l l — 1J" ( j,
car les hp reproduisent les /; à l'ordre près, (mod p' — i). Comme/) est congru à r", (mod /). r étant une racine primitive (mod /), puisqu'il appartient à l'exposant /, W admet la substitution (Ç, (**) et ses puissances, et ne dépend, par suite, que des péril nies à / termes i ').
Deuxième propriété fondamentale. On a
W,(Q »r,(r') = /. (? =N o et =|= - i . mod /). En effet ,
V I L') '1' (Ç')=:22 Xr~ <?+!)(*— *)+Ind(f*+l)— Ind(f*+1 — n' 2 + 22 !I— (?+')(*— /.-i-t-Iu.l ■;''- 1 1— In.!.;1 - I)
le dernier membre étant obtenu en prenant d'abord h = k, ce qui donne p' — 2 ternies égaux à 1, et la somme double s'étendant ensuite à toutes les valeurs inégales de h et k.
Posons
il \ ient
ou enci >re
M'/ri'l^ir'i = // — a — 2Ç«* + vv';n-'i*'-»',
ft'el li' pou va ni alors être égaux dans la somme double. En sommant par rapport à li' .
mu trouve S^ *' = — i, donc
et, par suite, si <j est =e o et e|= — i (mod h, on a
Si (/ = o ou = — i, mod /. La relation il le *F(Ç) V ,(Ç I) = + '• comme cela
résulte de W0 = M',, =— i, et de VgH , = Tg .
Troisième propriété fondamentale. Si/est pair, on a
si/ es/ impair, on n
vq(Q = ±Pm°(spT* ...-(s'-^r. i,
expression où les exposants m, ont les valeurs suivantes^) :
/?!, = S|i; -+- S.i—i + indï — S|x— i+ind(î+l))
S,, désignant la somme
La première partie de l'énoncé résulte immédiatement de ce que l'on a /; - = — i .
(mod /), et, par suite, ^(Ç-4) = ^(ÇT) = V/ï), et de la relation «r/j'l^r^/)'.
En vertu de cette même relation, il est clair aussi, pour/ impair, que H'(/ ne peut contenir que l'idéal premier p et ses conjugués, et il ne reste qu'à déterminer leurs exposants et l'unité dont le produit est affecté.
Tour cela, nous allons substituer a Z une puissance de p qui lui soit congrue (mod p"). Posons pour abréger
on a successivement
y =ç>ïP, 0*),
(') Ind désigne L'indice p;ir rapport au module V et à la racine primitive : . ind l'indice par
rapport au module / et h la racine primitive r.
Evaluons maintenant 1M?'"'); en posant q+ i = r», (mod F), prenant 1 iid i ;''/'"' - i i au lieu de Ind (pA + i). on a
'1' (lV~ *1 = v"— '"•<-, + '•— jlnd(p'l + l) q\-. J — 1 >
d'où la congruence
ii^(r'-') = sp-w,-* (pV" + ,)/>»'<•,, <y" ■),
// prenant cette fois dans la somme toutes les valeurs o. i q' — i, la valeur
cvclue précédemment /( = -(// — i i donnant ici un terme =o.
Si l'on développe par la formule du binôme, et qu'on effectue la sommation par rapport à // . il ne reste que les termes où l'exposant de p est un multiple de p — i = W; soient sll' ces exposants, on a
( /';•,, + sll' , ! ( /'//"/•, — /'/■„, — sll') ! ' V ' '
nu, en posant
•l remplaçant "J ' par Ç :
'' ' ' ° S (Z'p"V,i - - //'j ) ! [i /•, — r,-,)/'/?"' + lïz] !
pour le module (s'y)"' ' ' .
La somme doit être étendue à toutes les valeurs de z qui ne rendent négatifs aucun des deux fadeurs du dénominateur. Comme c'est un entier rationnel, tout revient, pour trouver l'exposant de s'p dans T i L't, à trouver quelle est la plus haute puissance de p qui divise la somme ^.
En s'appuyant sur le théorème relatif aux factorielles énoncé dans le paragraphe \ , on trouve aisément, en supposant /'; — /\,->o. que c'est le terme où :: = o qui contient p avec le plus petit exposant, et nous avons à calculer le nombre de facteurs // contenus dans
(l'pnrr t)]
(l'p"ri\-i)l[(r— twOVj1!'
Pour cela, cherchons d'une manière générale le nombre de facteurs p contenus
dans l /'//"'/'„ i! Soit
l'rh = a + a,p+ ... +«,,//"',
les ,i étant inférieurs à // el non négatifs : le nombre des facteurs // de la factorielle sera, d'après le Lhéorème rappelé ct-dessus :
/'//";■„ — (a + 0,-1-... +ar,)
THÉORIE DKS COUPS DE NOMBRES ALGEBRIQI ES. ■>>f\'/
Multiplions /'/',, par / et remplaçons If parp — i, nous avons
/''''/, = '\ + l" + la',P + ••• + 'rV-.',f'd'où, le second membre devant être divisible parp :
y. + lu , = y,p,
les ï étant positifs et inférieurs à /; et comme on ap = r'"*, (mod I), nj premier à /. puisque p appartient à l'exposant,/', <m a 1rs continences
/•" = xrm". a =s -j./"1', ..., *f = *,,/•"", (mod />.
d'où
x = r , a, = r , . . . , ïv, = r , i inoa /);
el comme tous les a sont restes positifs, mod /, on a
a =z rh—me> *i == 'n—ime °V— i — ' ir
Puis, en ajoutant membre à membre les égalités r,( + /<; = «p, etc., on a :
l(a + «, + ...+ ar J = (p - i)('V„„ + /•,„„„ + ••• + '•„)•
D'ailleurs, le dernier facteur du second membre est égal, à l'ordre des termes près, à
parce que m est premier à/. Désignons par /S,, cette somme, qui est en effet divisible par /(!); on aura pour le nombre de facteurs p de la factorielle :
l'osant pour abréger /•,• — /■,,1- = s, entier positif et inférieur à /, on aura pour le nombre de facteurs p de N, c'est-à-dire pour l'exposant mi :
ml = S+.S,-.S t.
Et pour obtenir l'expression de l'énoncé, il suffit de remarquer que l'on à
S/i-|-n=/ — S/, et que de l'expression de S résulte la congruence
,.-< ,-*-, = g = ,--' (Ç + ,),--' = qr-' = i*r-'i '*.-
d'où l'on déduit § = rVL—i+iBdq.
(') Excepté pour /"= ij cas déjà lr;iité paragraphe i.
