V|8 TU. GOT
NOTE VI
I! reste, [mur achever la démonstration, à lever la restriction relative au signe de r t — rx l . Or. de r +l, = I — rh on déduit
de sorte que si i ne vérifie pas la condition r, — r« i>o, ;j. — / la vérifie. D'autre part, si l'on fait le produit V^Ç)^ Ç-1 '• qui est égal à pr, il en résulte mi -f m,+li=f. On a donc /«, =/ — >»,+il, et comme on a aussi SA =/ — SA+|l, on retombe sur la même expression de mt que dans la première hypothèse.
Enfin l'unité E(Ç), qui affecte le produit des idéaux premiers, est égale à + 1 . car, d'une part, elle ne doit dépendre que des périodes hf termes (/>i). et, d'autre pari, on doit avoir E(Ç)E(Ç 1) = 1 à cause de l'égalité T^Q'I'^ :~')=//; ceci exige E(Ç)=±Ç/fc. et l> doit être nul d'après la première condition.
Remarqi e. — La démonstration précédente s'applique encore aux idéaux du premier degré. Si l'on fait, en effet. /= 1,
/S„ se réduit à rh, et mi à - (/-,, 4- JV-.+ind, — /v,+ll(1„+l|).
expression prenant la valeur 1 ou la valeur o, suivant que s'p figure dans W (Ç) avec
l'exposant 1 ou l'exposant o; — c'est le résultai du théorème I.
Cri le remarque permet de donner une expression unique pour f-(Ç). que /soit
égal ou supérieur à 1 ; on a
fc=(— 2
Vxposanl ///, égal à o ou 1 étant donné par la formule
'"/, = ~. ('V— k + r^—lt+inàq — 'V— A'+ind(?+l).
La formule s'applique aussi pour/pair; elle esl donc général
Indice de E„Q. — L'identité des propriétés de T (*)(M. quel que soit l'exposanl auquel appartient le nombre p correspondant, va nous permettre de trouver, par un calcul unique, s'appliquanl à tmis les cas. une expression de l'indice de E„(Q à l'aide de ce nombre.
Cette expression est la suivante :
[Ruminer '-. ]
(') ?. dus avons utilise dans le paragraphe 1 et le paragraphe actuel deux formes différentes
de T,,!''). nuis un passe aisément de l'une à l'autre. (Voir Weber, A///. su/>.)
THÉORIE DES (JORPS DE NOMBRES ALGÉBRIQl ES. M'ic)
Pour la il :montrer, calculons d'abord la dérivée) en partant du développement
T e") = Se" 1+1 '• - '"■' ?*+'
On a. en posant pourabrégei
>Fp(e")
d'--" log ">'") V t/u
du'-"' (/«"'
don. par la formule de Leihnitz :
d'--"i..giX' = 'r ■■!'„ m «rv, du
//h"3" du'"- ■ i ' du"1 ' du
( lomme
*-,(Ow,(r,)=/.
on a
>i ;,■" >>rr/ <>-")=,/ + Y w.
où W désigne un polynôme en <•" à coefficients entiers et où
(parce que la di Ile ronce W (a;)W (a:-1) — Wg| L'iT,/ '!"' I, admettant la racine !. admet
toutes les racines de i + x -\- ... + x'~').
< >n a donc
Tt(0 = U(p' + VW),
(f-V,(0 d'U / , ,,„ I (/'-U rfVW du r/« ( du du
Pour « = 0, V et ses / — 2 premières dérivées s'annulent, mod /. et comme od a pr= 1. pour ce même module, on déduit du développement précédent
«WO.rf.^ (mod/,.
du' d«
pour /' = 0, 1, 2 / — 2.
On peut encore écrire
Donc, on a
""y ' - D. , D. - ^ D. D, + Si=^> . D„, D, - 0.
Mais
D1 = L[— (7+ i)A + Ind(p* 4- 1)]'
( h = 11, I. . , pf—2, excepte — - — \ .
35o TH. CiOT. NOTE VI.
Désignons le crochet par C4, nous aurons
'du'
l°ll«ri ^ = SS (CT'CÎ - — ■ crCÎ + ••• )• (mod /,
les valeurs h = -{pr — i), k = -(pf — i) étant exclues de la sommation, c'est-à-dii 2 2
d=^ch(ch-ckr
= SS[— (9 + i)/* + Ind(f"+ i)][— ((/+ ,,(/,A-) + Ind(p',+ i) — Ind (p* +
Comme tous les termes sont congrus à zéro pour h = k , employons la transformation
déjà utilisée
tf* 4- i p*-* = p*', ^ = p/,r, (mod p i ;
F + ' nous avons
11[— (q + i)Ind (p*'— i) + Ind (f — i) + '/ Ind (p*' — p»')] [(q+i)k' — h']m,(jnod /..
(ft'. v = i, ï pf— i. »'=|=*').
Évaluons séparément les trois sommes correspondant aux termes du premier crochet, en sommant d'ahord par rapport à k' ': pour plus de facilité, on ajoute dans la somme double les termes où h' = k', en les retranchant d'autre part. La première
'somme, comme p' — i est =o, (mod /), que S/c" est =o pour t=i, i / — 2,
et que l'on a
de\ ient
(q+i)(i +q!--"-l)ïh"-!"-'lnd(?>-,-i).
1 )n trouve de même pour la seconde :
- W~"'"~' + (q + 0'-"-'] ^h"-"-"" Ind (?"'- 1).
Pour évaluer la troisième, ajoutons et retranchons les termes relatifs à h' = 0 et à k' = O :
-q[i + (q + i)'-2"-'] SA"-"- ln.l (p»'-i); le reste de la somme
7^[i.Ki(p''I, + A-'], r//-*'/-*''- (;:::,;;:;;.'.%)
est congru à zéro.
On a donc en réunissant les trois sommes
,fa'L',!'" =[<+?*-" -(? + 0'-"'] 2 A"-""-' Ind (?»'-!), Çmodl).
Dans la somme, tous les termes pour lesquels -A' est = o. mod /, disparaissent,
el si l'on pose h' = i + lie U=^,'ï" '"*,). on a
Z=-ZZi'-*-"-' ind(p"*'— i i.
Mais on a évidemment toujours la congruence
et, par suite.
S lnd(p'+*' — i) = Ind(i — p':')=lnd(i — £'), (mod /).
Donc, on a
E = S i'-*"-' Ind ( i — l') , (mod /) .
En remplaçant i par ir, ce qui ne change pas yj, multipliant par r*" el retranchanl l'égalité primitive de la nouvelle, on obtient
(r*"— i)S = 2i'-*"-'Ind
Si l'on change enfin i en r1' , on a
(;•"-.) S = S;--"* Ind (' ^7) = a lnd I-:,,:.. puisque
el que l'on a
Par conséquent, on a pour expression de l'indice de E„(Ç); (mod p)
lndE„(£) = - -, r^ — .^ , , ., r '. (mo«l/). C.q.f.d.
21+ (/'-" — [<[+ i)'-" du1-'1
Remarque. — L'indice est =o pour toute unité E„, telle que / — an ne soit pas divisible par/.
En effet, d'après la première propriété fondamentale de V , on a
T,(Ç).=;Tt(p-),
et, par suite,
et
rf0'-"logW,(0 <" log ^(e""') ,(8B)e (/„'-"' log WQ(e")
du'-'" du'-" du'-'"
Si donc l'on n'a pas
r('-«»)«I=0> (mod/),
il '-*" log W Je") .
c'est-a-dire si / — in n'est pas divisible par /, il faut que /'-.„ — - s°l1 — °>
c'ëst-à-dire que Ind En(Ç) = o.
352 TH. (iOT. NOTE VI.
S \ III. — Étude des idéaux dont la liime puissance est un idéal principal.
Le résultai final de cette étude est le
Théorème XI. — Moyennant les hypothèses du paragraphe V, la condition nécessaire et suffisante pour qu'un idéal t. dont la /''""' puissance est idéal principal, soit lui-même principal, est que l'on ait
d'-* log i'(e")
m in — — = o, (mod / .
du'—2'
[Ruminer '".]
La démonstration nécessite quelques développements, qui font l'objet des deux lemmes suivants :
Lemme III. — Si le nombre de classes h est divisible une seule fois par / et qu'un idéal i appartienne à l'exposant /, c'est-à-dire si i' est la première puissance de i qui
soit un idéal principal, les idéaux i. i, r t'~' représentent toutes les classes
d'idéaux appartenant à l'exposant /.
Ces /classes sont évidemment distinctes, puisque i appartient à l'exposant /; s'il existait un autre idéal i' appartenant à l'exposant / et non équivalent à l'un djs précédents, les produits ("'{""' représenteraient pour m et m' égaux à o, i. 2 / — 1.
/= classes d'idéaux non équivalentes; ensuite 1" désignant un idéal non équivalent à l'un des idéaux représentés par ï"ï'"\ .les idéaux ï"i""'i'""" seraient tous non équivalents pour m et m' égaux à o. 1 / — 1, et m" égal à o, 1 h" — 1. en désignant par i'"'" la première puissance de i" qui soit équivalente à imi""'. fjn continuant
ainsi mi arrive à épuiser le nombre h de toutes les classes, et l'on aurait h = r~fi"h'"
ce qui est impossible si // n'est divisible par / qu'une fois.
Lemme IV. — Si les deux premières hypothèses du paragraphe V sont vérifiées, l'indice de l'unité E„, par rapport à un module premier p, est
(-lY+,(r°--i)]W-u. ^r?-logp'-u-i
(17) Ind L. = . — , unod /).
2 h du!—-*
[ Kummer '\ ]
lui effet, on a démontré la formule générale | iâ)
, ... '■"' - ' ' d „'-'" log V (g»)
lllll L = . ; ; r— ■ . — , ., ' , (llllll .
a 1 +u'-'" — ((j + if-"' du'-'"
OÙ l'on a
les exposants mt étant donnés parla formule
tnk "t('V— * "+" 'V— A + iml? — '.' >• ■ iii.I(y + 1)).
En élevant à la puissance /(,/= /*. de manière à n'avoir que des idéaux principaux, a
On en déduit
//„"-""' log »F, (g") "^ >/."-"' log/pN,-") ...
</u' — ' ' du1
car si deux nombres a et p sont égaux, ou même simplement congrus, mod /' ', on a pour toute valeur de / non divisible par / — i
il "'-j li'") il'1' lie" \ ' , ;= ' * ■ (mod/-).
On a donc, vu l'expression donnée plus haut de Ind EM,
,.n^~-. — ,>:-■ t"rar'"''-'s '-'■-- -
a[, +9i— (g+ j)'-»] duT"
on remarquant que ,«*p*(e") = p''( <'"''*), et qu'on peut remplacer la dérivée (/ — ■un""" par la (/ — 2n)l'*me qui lui est congrue, mod /.
Désignant pour abréger par k la somme -t et remplaçant nit par sa valeur, on a
/K = V r('"2""*[;v-A- + r>A-+indï — /V-A+ind(V+i)] . (mod /i .
fc=0
Remplaçons maintenant /•<'--«)«■ par ,•{!— in)i'k qUj iuj est congru pour le module f , nous aurons
/K= J rr*HH-H,t+ V ,v,+,nd ?r('— "■ f* - J /v-*+i»d(î+i,/-"-J"''-'A. (mod f)-
,'I,V| TH. (iOT. NOTE VI.
Il siiffil d'évaluer la seconde somme, dont les deux autres se déduisent par le changement de <j en i ou en 7+1. l'osons
l'j.— k+Mq = / :
i prendra toutes les valeurs 1, a / — 1 quand k prendra les valeurs o, 1 , .... / — 2 ;
puis de
rn A+ind« = it ou ,./.- == — H t (mod /),
<>ii lire
,/" -în)l"
r{l-in)l'k =
-. , (mod /'),
!ii — in)/'
ou encore
,.(/W/. = ,^-ln.l' jl, -],/- (ni0£l p).
parce que l'on a i'C— i)/* = 1, (mod f). La seconde somme est donc congrue à
it L'on a
/K = — [1 + f/"-2">/J — (g + i)"-5">'a] V ii*i -))?+«, (mod /').
( )r. un a
V j(Sn-l)F+i ==( ,)a+1 H„„,w,r| . /, (mod t) .
1=1 En posant, po'ur abréger,
et revenant au module /\ en divisant par /. on a donc, pour {'expression de l'indice :
ir" — 1 |Q' rf"~*"" log »V)
En utilisant la congruence
-^=(— i)«c 2L^, imod/i.
'" //( + St[J.
(démontrée dans le Mémoire de Ruminer, cité en noie au S Mi. mi a, si l'on \ fait in— t)/+ 1 ,
/» = = = /(/ — '; et A' = 2/! — 1 :
Diin— i|;=+i == ; — . 1 un ut / I.
Si l'on l'ail enfin n = v, B,/__;i est <li\ i si hic par /, car B, l'est: on peul alors divise]
par / les deux membres de la ci mgruence qui donne l'indice, el c me on a Q'=Q,
( mod /). et aussi
d(J-W log p*(e«) d'-** log p*(c")
>n a finalement
(- ,)«+,(rs,,)B d.--a, iog „/,„.„,
lndEv(0= . , , , , -. (mod/).
Définition. — La forhiule précédente s'applique encore dans le cas d'un module composé, moyennant une généralisation de la notion d'indice, analogue à celle que
(«1 .laeobi a donnée du symbole de Leeeudre. D'après la définition du svmbole ,
(voir § 1 1 3), on a
