pï
On définira le symbole , — . dans le cas d'un idéal i composa, par la relation
( i S \p)l* il t r""
p, q, r, etc., étant les idéaux premiers distincts ou non dont le produit est égal à i : l'indice par rapport à i est la somme des indices pour p. q, r. etc. Le logarithme d'un produit de facteurs étant égal à la somme des logarithmes des facteurs, et l'indice ayant la même propriété, on voit que l'on a encore dans le cas d'un module i composé :
(—i )"+;'(/'-' — i)B,/-., '/.'r2' log iA(e") . .
fndE,(0 = i —r-, -.- r^—, ■ (mod/).
■>JiJ <lu'—'
Remarque I. — Il résulte de là que si l'idéal i est principal ou s'il appartient h un exposant non divisible par /, l'indice de EV(Ç), par rapport à ce module, est divisible par /. c'est-à-dire que
car l'exposant «, auquel appartient i", étant un diviseur de h = hll, cl n'étant pas divisible par /, doit diviser ht; soit h1 = ak1, on aura t* = (i°vV, et, par suite,
\ogï\e") = hJlogï'(e"), d'où
d'-*" log »*(*") t |,uiE|!:) = 0, (mod /i.
du'-*
Remarque II. — Il résulte de là que E»(Ç) a même indice par rapport à deux idéaux équivalents a et b.
Cardans ce cas il existe un idéal c. tel que ac et bc soient tous deux principaux. et alors
j ac \ j fcc J '
ou en supprimant le facteur commun — :
la) | i )'
Passons maintenant à la démonstration du théorème XI.
Par hypothèse, il existe un module a pour lequel EV(Ç) n'est pas reste de /'•'""' puissance et, par conséquent, t = Ind E»(Ç) est =J=-c% mod /. ou encore
Il résulte alors de la remarque I précédente que a appartient à un exposant divisible par /, suit al, et a n'est pas divisible par /. car autrement le nombre des classes serait divisible par/2. Ensuite b = a" appartient à l'exposant /, et l'on a
Si maintenant i est un idéal dont la I'""" puissance est idéal principal, il est (d'après le lemme IV) équivalent à l'un b'" des idéaux
( >n a donc
iEv(Ç)') (E,(0J
Ind E»(Ç) = aim, (mod /),
l'indice se rapportant au module i. Comme ai n'est pas divisible par /, l'indice est ou n'est pas divisible par /. en même temps que /// . c'est-à-dire à cause de l'équivalence
suivant que i est ou n'est pas principal.
Mais puisqu'on suppose que i' est principal, l'expression de l'indice de E»(ç) devienl après suppression du tac leur ht dans les deux termes de la fraction)
(— i r-;M /•-■•— i )\\.,-.L d'-*logi'(e»)
lnd h,(l) = : -.— — , ( d /i.
■il (/(('---
cl si L'on observe que le premier facteur du second membre est indépendanl de i el qu'il n'esl certainemenl pas divisible par/, car autremenl E,(Ç) sérail reste de puissance /"'"" pour le dule i, contraire ni à L'hypothèse, on voil que l'indice de
!•:, esl eu n'est pas divisible par Z, en même temps que — — r-7^ . cequi achève
la démonstration du théorèmi
du1 '-•'
Corollaire. — Dans le cas d'un idéal i du corps c(Ç t - '.' '),ona i'i ".) = i'i ,' '"' i. et, par suite, toutes les dérivées d'ordre impair du logarithme sonl congrues à zéro pour ii = o, en particulier la (/ — ■>. > 1"""' .
Dune, tout idéal du corps c(Ç | : '), dont la /""'" puissance est un idéal principal, est lui-même idéal principal .
S l\. — Condition moyennant laquelle un nombre du corps ci ; : ' i. multiplié par une unité convenable, esl congru, mod I . à un entier rationnel.
Théorème \ll. — Si / ne divise qu'un seul H, des premiers nombres de
Bernoulli el qu'une seule fois, l < >i 1 1 nombre F(Q du corps <•('' \- .' 'i, qui vérifie la
congruence
il II'-'
o. (niod /) .
peut, après multiplication par une unité convenable, devenir congru, mod /. à un entier rationnel. [Kummer10.]
On a, en effet, dans ce ras, en appliquant la formule (ta) :
DLF(i)J du* iU, + ■•■ + du1-'
les dérivées d'ordres impairs disparaissant, à cause de F(e") = F(« " i.
Employons maintenant les unités E„(Ç), pour lesquelles on a, d'après la fq mule (i4) :
ii ig —
i(-i)""C'2"-i)^X2„(«. (mod l).
Déterminons les entiers N„ pour n = i. a, .... \i. — i. à l'exception de n = v par les congruences
nous aurons
N..io,r wwXs„(Ç), 0>
358 TH. (iOT. .NOTE VI.
et, pour n = v, mi a, quel que soit X., puisque B, est supposé divisible par /
Nv log pTn ~°' tmocl tK
Par suite, si l'on suppose
df log F(e"
tf«-v
;o, (mod /),
c'est-à-dire en posant
^LfôtetôJ"0' (""k,/)-
F(Ç)E(ç) = 'F(i)E(i), (mod/). C. q. I. d.
5 X. — Propriété des unités congrues, mod F, à un entier rationnel.. Théorème Mil. — Si / satisfait aux trois conditions suivantes :
i il divise un seul B, des premiers nombres de Bernnulli .
■>: il ne divise pas le second facteur du nombre de classes. 3° B,/ n'est pas divisible par F ,
toute unité du corps ne1 ) congrue, mod l~, à un entier rationnel, est la [""'" sance d'une unité du corps. [Ruminer"1.] (Théorème correspondant au Ihéorèi pour les corps réguliers.)
puisiii' i56
Démonstration. — Soit
l'expression d'une unité quelconque Ë(Ç) à l'aide d'un système de \j, — i unités fondamentales y, ';■/—,• et soit
= V» ! Il
(ft = 0. I. '-. ■ , l«-2]
crllc dr> unilés circulaires.
THÉORIE 1H-.S CORPS DK NOMBRES ALGÉBRIQUES. 35g
< »n en déduit pour El Q, en éliminant les •-, — ce qui esl aisé en prenant les logarithmes, — l'expression
m0 in t Blji— 1
E(p=±pS(o"rt(r)r...e(r J^-
où nous supposons que / représente le plus petit dénominateur commun des Fractions en exposant. Ce dénominateur / n'est pas divisible par/, car c'est un diviseur du
déterminant des //t, , . et ce dernier est égal au quotient — des déterminants des sj s-
tèmes de logarithmes des unités circulaires et des unités fondamentales, c'est-à-dire (théorème i4a)au second l'acteur du nombre de classes, facteur non divisible par /, d'après l'hypothèse.
Supposons E(Ç) congrue, mod F, à un entier rationnel a. Il en résulte d'abord ,« = o, car de E(Ç) = a, mod P, résulte E(Ç~') = E(!j). mod /". ce qui exige comme les unités circulaires sont réelles, £' = Ç~*, mod l'~, et, par suite, s = o.
Ensuite, comme E(i) est congru à a, et, par suite, à E(Ç), i I /'. on a, en prenant les logarithmes, mod l~ (voir 5 YI) :
rE(0"i
Lê(T)J = 0-
(mod /J),
ce qui donne, en développant d'après la seconde expression de E(Ç) et supprimant le diviseur /, non divisible par / :
'•'-[^l-.'-[f]— "-ra-
I lllixl /*).
Appliquons à £(C1) la formule (Si, paragraphe VI, en remarquant que toutes les dérivées d'ordre impair sont nulles pour h=o, parce que ces unités sont réelles, et tenant compte de ce que la norme est égale à un ; nous avons
t îiitxl F).
Multiplions par /»A et faisons la somme pour /c = o, i, a \j. — a, en posant
pour abréger
fr=H-S
M.. = V mS'*',
nous aurons
du
M0log et .)'"'+ V m/""" y'.Xjriso, (modf).
