TH. GOT
NOTE VI
On trouve aisément e{ i) = r, et si l'on suppose, ce qui est possible, r choisi de manière que rl~ ' soit congru à i. mot! P, on aura logî(iV' = o, (mod /*). \ln exprimant ensuite que les coefficients de ç, ç'', etc.. sont tous divisibles par I'. on a un système de / — i congruences linéaires et homogènes indépendantes par rapport aux / — 3 . .. ,. i""loge(c")
produits M,,
du""
ce qui entraîne, pour n= i.
,C""log--(e') M,,-2 — j-isi = °> (mod f*)-
Mais on a, d'après la formule (i3).
Btt 2/U
D'ailleurs, on a toujours
d0*'log$(e")d0*log$(e")
(mod /),
comme un le voit en comparant les développements de lo
cr
, mod T, et
mod / (les Xt(?) étant congrus dans les deux développements, d'après le théorème de
il2"' log = (f")
Fermât). Donc — ~i ne peut être divisible par / que si Bn l'est; dans le cas
actuel, c'est seulement pour n = v. On a, par suite, MB-=o, (mod /"), sauf pour
n = v; si on suppose — r =eo, (mod r), c est-a-dire B»j =eo. (mod f ). on aura néces-
sairement M, = o, (mod /). Posons alors M, = ;j./>/, M0 = ;jlc, (mod /J), nous aurons. en multipliant Mn par r-*"*! et ajoutant pour n=o, 1 y, — 1 :
[j.mK = ;j.c + ;j.6// — "-■''', (mod P). hk = c + /W;— î-u + sj*.
Kn portant ces valeurs dans l'expression de EÇ1), tenant compte de ce que la norme de e(Ç) est 1 et que. / étant premier à /. on peut déterminer deux entiers d et e tels que td= 1 + le, on trouve aisément
expression où E, est une autre unité, ce qui démontre le théorème.
S XI. — Théorème sur l'impossibilité de l'équation 1 1 1, dans le cas de .<■. y ou : divisible pur I, lorsque I vérifie les trois conditions du paragraphe V.
Théorème XIV. — Si / satisfait aux trois conditions suivantes
i° il divise un seul B, des premiers nombres de Bernoulli. el une seule
fois,
2° il existe un module pour lequel E, n'est pas reste de I'6"" puissance,
3° B,/ n'est pas divisible par F,
l'équation (i) est impossible en nombres entiers x, y. : premiers entre eux deux à deux, l'un d'entre eux étant divisible par une puissance quelconque de /. [Kummer".] Soit r celui des trois nombres qui est dix isible par /. et suit lk la plus haute puissance de / qu'il contient, de sorte que z=l"zt. Considérons, au lieu de L'équation (i), l'équation plus générale
U, V, W désignant des entiers premiers à / du corps c{Z + Ç 1), E une unité quelconque du corps; 2 — Ç — Ç-', c'est-à-dire (i — Ç)(i — Ç-'), est l'un des facteurs
égaux réels de / dans le corps c(Ç + Ç~l); enfin m est supposé [ilus grand (pie un. L'équation (i) n'en est qu'un cas particulier, correspondant à
(a — Ç — Ç-«)KV)' Nous allons déduire de l'équation (i)' une série d'équations de même forme :
dans laquelle YV, contiendra moins de facteurs idéaux premiers que W,t. Ceci conduit à une contradiction qui entraine l'impossibilité de l'équation ( i )'; car W ne contenant qu'un nombre limité de facteurs premiers, on sera forcément arrêté dans la série des transformations précédentes. Ecrivons l'équation (i)'
Le plus grand commun diviseur des facteurs du premier membre est i — Ç, et ce facteur i — 'Ç ne petit diviser plusieurs fois que le seul facteur U + V, car si l* + ;T était divisible par (i — Ç)1, il en serait de même, comme on le voit en changeant
Ç en £-', de U + Ç~'V, et, par suite, de (Çr — ^')V, ce qui est impossible, si r n'est pas nul, V étant premier à l. On a donc, le nombre total des facteurs 1 — £ étant sm/.
(A) U + ÇrV = er(i — OI,'. "'=''2- •'-"■
les zr et e étant des unités(1), les Ir des idéaux du corps c(Ç) et J un idéal du corps c(Ç + Ç~ *), car il ne change pas par la substitution (Ç, !T I), vu l'équation (B).
Ces idéaux \r et J sont des idéaux principaux.
Car on a, en éliminant U :
V et s Ir' sont donc congrus mod /. et il en est alors de même de leurs dérivées logarithmiques (voir S 1 3 1 , note)
d[r*- log Vi e") d\-9- log i,.(e") d'~* log Ir(e")' du'-* ~ dul~* du1-* '
mais comme V(e") = V(e~") et que l — av est impair, on a
rf£-MogV(e»)
dul~*
■o, (mod /),
et de même, parce que l'on a ep(Ç) = Ç'ï,.(Ç '), d'après une propriété générale des unités (théorème 48) :
d'~* log sr(e«)
du*-*
par conséquent on a aussi
d'~* log !,(«»)'
= o, (mod /);
= o, (mod /),
du1-*
et il en résulte (théorème XI) que Ir est un idéal principal.
D'ailleurs. J est aussi principal d'après le corollaire du même théorème.
Le produit de lr(QlJ£~~') Par ane URdé convenable est congru, mod I, à un entier rationnel.
En effet, en observant que V, £ et J ne changent pas par la substitution (Z, '.''), on a
ef({)i,(;)'-Mr)if(n'= * * -r (, + -)J,
(') I >.i ms ce paragraphe, e désigne une unité quelconque el non l'unité circulaire.
d'où, comme lriÇi'esl congru, mod /. à an entier rationnel, et par suite à [p({ ')',
la congruence
er(0 = £r(r'). (mod/).
ce qui exige, vu la propriété générale des unités fs(Ç)= £'sl '- ' i) .
En divisanl alors par sp(ç) et remplaçant 2 — ç — ç-' par — l~'(i — Ç)*, on a
(c) rr(ç)'-ir(ry=ê'(i-o,ïm-i,,j',
où e' désigne une unité.
Ir ne figure clans toutes nos équations qu'à la puissance l[ime; on peut donc le supposer semi-primaire, c'est-à-dire congru, mod (1 — 'If, à un entier rationnel, en le multipliant au besoin par une puissance convenable de Ç (S n5). En décomposant alors le premier membre de (C) en ses / facteurs linéaires de la forme IP(Ç) — S'Ir(Ç-,)> on voit, comme plus haut, qu'ils ont pour plus grand commun diviseur 1 — "., et que le seul facteur Ip(Ç) — I,.(Ç,J est divisible plusieurs fois par 1 — ". (un facteur Ir(Q — Ç'I/Ç5"') ne peut l'être si / n'est pas nul, puisque Ip(Q congru, mod 1 1 — L'r, à une entier rationnel, est congru à Ir(Ç-1))- On a donc, les 1/ et J' étant des idéaux :
iplç) — c,ir(r,) = e,'Q.(i — ï')-V(î)'. «=,-!< ■'-"•
iP(0-ir(ri) = e"(O(i-o"m~,,'+'-i'(Ç)'-
En résolvant par rapport à Ir(£) et. lr('Ç~'), on en tire les congruenccs
d'où, comme m est > 1,
ir(0ir(r)=e/(ç).e/(r)-[V(0-V(r)]'» (modo,
l,'(Ç). I/(Ç-'), idéal du corps c(" + Z~'). dont la ?''"le puissance est un idéal principal, est lui-même principal (corollaire du théorème XI); de sorte, qu'en tenant compte de la congruence ci-dessus, on a
d* log [!,(«•). !,(«—)]«/* log [s," (e'<). £>"")]
(mod(.-C)1-'"-").
du2» </«2
c'est-à-dire, vu la propriété générale des unités, d* log [!,.(<•"). !„«>-")]
(mod /),
= 0, (mod /),
ce qui prouve, vu le théorème XII, qu'en multipliant \r(Z) . Ip(£-') par une unité convenable Ap(Ç), on rend ce produit congru, mod /, à un entier rationnel. On démontrerait de plus, comme pour ep, que Ar est une unité du corps c(Z + l-'). On déduit de (1)' une équation de même forme.
.'J>f>4 TH. GOT. NOTE VI.
Multiplions l'équation (A) par celle qu'on obtient par la substitution (Ç, Ç-'), on a
u' + <;r + rr)uv + v*=er(o.£r(r')-(3 - r-rr)-[ir(0-ur')]';
de même,
u' + (?« + rouv + v= s,(;). s,(r*). (a - r-o-P.! -:» • i.(r*)]'.
et en élevant (B) au carré, on a
u' + 2uv + v"=e(o*.(a-ç-r,)!mM+,.J(ç)*'-
Si on élimine U' + V* et U Y entre ces trois équations, on a
^(0.e,(r*).[ir(0-i,(r*)]'- 6.(0 ^(r1). [i.(0. i.GT)]'
6(;)' . (a - ; - r')* ■ (r + rr - v - rViW (a— -r-nca— r-r1)
En posant, pour abréger,
A,.(0-ir(0-i.(r') = u'(:). - A,Q.i,(r).is(r') = v'(o.
on a
c,.:..i-(0,-e.(0-V'(;),= 6U)-'3 ' 1 J ±p..+ g „ - » MU)
et en observant que £r + £-1' — £* — £s est divisible une fois par a — £ — Ç 1 , et de même 2 — ^r — £~r et 2 — £* — 'Ç~\ on a, en remplaçant k par sa valeur 2ml — / + 1 , et désignant par E, une unité :
u" - Il v"= e, .(2 - : - ç-*)(I,B,,iJ",
ce qui donne la congruence
U"=Ilv", (mod/*).
Mais U' et V étant congrus, mod /, à des entiers rationnels, U'' et V' sont congrus,
mod l\ à des entiers rationnels; donc, l'unité — £ est congrue, mod F, à un entier
rationnel, et elle est, d'après le théorème (XIII), la /'éme puissance d'une unité C?i Q. En posant alors
u' = ut, — ev = v(, j" = w~,
on a l'équation
U/.+ Vt'=E,(a-Ç-r,)<1'B",1'W1',
de même forme que celle dont on est parti et qui doit encore être vérifiée par des entiers U, , V|t W, du corps c(Ç + ï-') premiers entre eux et à /. Par le même pro-
THKORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. 365
cédé on en déduirait une troisième et ainsi de suite indéfiniment ; mais c'est impossible, car le nombre des facteurs idéaux des W va en diminuant. En effet, on a d'abord :
Comme tous les facteurs du second membre sont premiers entre eux deux à deux, W,. qui est égal a J*, ne pourrait donc contenir tous les facteurs idéaux de W que si
tous les I étaient des unités, c'est-à-dire, d'après (A), que si — r était, pour
toute valeur de r, une unité; en changeant alors Ç en : ' ou devrait avoir (propriété générale des unités) :
u + rv tu + rrv
c'est-à-dire
Mais comme, d'après (B), on a
U + V = o, (mod /).
il en résulterait
c'est-à-dire
■ -f ;■"* — ;r— r = o, (mod /),
(i — 0(i — Ç*) = o, (mod/).
ce qui est impossible en debors de / égal à 3, cas exclu, ou de k égal à o, ce qui ne peut avoir lieu, car alors on aurait U + V = o, W'=o.
Le théorème est ainsi complètement démontré.
D'après l'expression du premier facteur du nombre de classes pour les nombres premiers inférieurs à 100, expression donnée par Kummer (Journal de Liouville, tome XVI), 37, 5g et 67 sont les seuls nombres premiers non réguliers inférieurs à 100. Ils entrent une fois et une seule dans ce premier facteur. Relativement aux deux autres conditions, on a v37=i6, vM = 22, vi7 = 2g, et Kummer a trouvé Ind Elt=24, mod 37, pour le facteur idéal de i4g correspondant à Ç — 17, Ind EM = 5o, mod 5g, pour l'idéal de 709 correspondant à £ — 385, Ind E„ = 4, mod 67, pour l'idéal de 26g correspondant à Ç — l\~ (2 étant choisi dans les trois cas pour la racine primitive, mod /, qui figure dans E,). Enfin, les nombres B,; sont congrus respectivement à 35 x 37', mod 37', 4i X 5g', mod 5g1, et 49 X 67', mod. 67*. Les trois conditions requises pour la démonstration sont donc remplies, de sorte que l'impossibilité de l'équation (1) est établie pour tous les exposants premiers / inférieurs à 100.
En dehors du résultat de Ruminer, il a été obtenu peu de résultats nouveaux, dans le cas où x yz est = o , (mod l).
Signalons seulement un résultat négatif, qui conduit à abandonner une méthode qui paraissait s'appliquer ajussi bien aux deux cas de ocyz=o ou =|eo, (mod /).
Il paraissait naturel de chercher si la congruence x" + y" + z" = o, mod p, ne serait pas impossible en nombres entiers premiers à p, pourvu seulement qu'on prit le module/) suffisamment grand : car, dans le cas de l'affirmative, l'impossibilité de l'équation (i) se trouverait complètement démontrée. Mais Dickson a montré que cette méthode devait être abandonnée, car :
Théorème XV. — La congruence x" + y" + y" = o, mod p, a toujours des solutions x, y, z, premières à p, dès que p dépasse une certaine limite. (Dickson, On the congruence x" + y" -f- ;" = o, mod p; et Lower limit for the number of sets of solutions o/x' + y' + j'so, mod/). J. f. d. Mathematik, Band i35.)
Hurwitz a donné de cette proposition une démonstration plus élémentaire tout en la généralisant. (L'eber die Congruen: axe + bye + cze = o, mod p. J. f. d. Mathematik, Band i36.)
Page 9, lig-ne 12. .4;; lieu de au domaine, lire : ou domaine. 10, i3. Ah lieu de xm, lire : ».'".
» io. Dans l'énoncé du théorème 2, l'expression fonction entière est
synonyme de polynôme entier (et non de série entière); il en est de même dans tout l'ouvrage.
» 10 et 21. Après coefficients entiers, ajouter : rationnels.
