CHAPITRE IV

Le discriminant du corps et ses diviseurs.

§ 10. — Le théorème relatif aux diviseurs du discriminant du corps. Théorèmes auxiliaires pour les fonctions entières.

Le discriminant du corps k est défini par

où o) , <o , w„, est une base du corps; le discriminant est un nombre entier

rationnel. La recherche des diviseurs idéaux de d a une importance fondamentale dans le développement de la théorie des corps. On a le théorème fondamental suivant :

Théorème 3i. — Le discriminant (/ du corps contient comme facteurs premiers rationnels tous les nombres premiers rationnels divisibles par le carré d'un idéal premier et ne contient que ceux-là.

La démonstration de ce théorème présentait de sérieuses difficultés, Dedekind parvint à les surmonter pour la première fois. fDedekind6.]

Hensel a donné une deuxième démonstration de ce théorème qui complète sur un point importanl la théorie de Kronecker relative aux nombres algébriques. La démonstration de Hensel repose sur les concepts suivants créés par Kronecker. [kronecker"1. Hensel*.]

Soient ui <(„, des indéterminées et u>i um une base, la forme

est dite. la forme fondamentale du corps /.-; elle satisfail à l'équation en x,

(X — (■),«,— ... — (ùmUm)(x — o^Uj— ... —0) ,'„«,„)••• (;C — u, "",

qu'on peut écrire

où l ,, .... Um sont des fonctions de «, <<„, à coefficients entiers et rationnels.

Cette équation <lr degré /// est dite l'équation fondamentale. Pour pouvoir opérer avec

1rs concepts que l'on vienl de définir, il esl nécessaire d'étendre les théorèmes sur la décomposition des fonctions entières d'une variable x suivant un nombre rationnel premier // [Serrel ' | au cas plus général où les fonctions i litières contiennent en pi n ~

de la variable x 1rs m paramètres indéterminés u . at »„,.

Danser ipii suit, nmis entendrons toujours par fonction à coefficients entiers une fonction rationnelle entière de la variable el des indétermi m'es i Ion i 1rs coellicients sonl dis nombres entiers rationnels. De plus, nous dirons qu'une fonction entière

Z(x; u ;/,„> esl divisible suivant \> par une autre foncti sntière \. -il existe uni'

troisième fonction entière ^ . telle que la congruence

Z = XY i/o

ail lieu identiquement par rapport aux variables .'■. ut «„,.

Lorsqu'une fonction entière à coefficients entiers n'est divisible suivant le module p qui' par des fonctions congrues à un nombre rationnel ou à la fonction P elle-même suivant /). nous dirons que la fonction 1' est irréductible suivant le nm ilule p. ou encore qu'elle esl première suivant le nu ulule p {Primfunctiori).

Les théorèmes relatifs à la divisibilité se démontrent comme dans la théorie des fonctions d'une seule variable; nous ferons remarquer en particulier le théorème suivant que l'on démontre facilement par la récurrence enclidienne.

Théorème 3a. — Lorsque deux fonctions entières à coefficients entiers \ el 'S de ./-, u u n'onl pas de diviseur commun suivant le module //. il existe une fonction U entière à coefficients entiers de u, «,„ seulement non congrue à o suivant p, telle que

1 =AX+ IiV i/o.

nu A et B sont des fonctions convenablement calculées de x, ut. u, »,.,.

Notre but esl de déc poser le premier membre F de l'équation fondamentale en

fonctions irréductibles suivant le module p. Xous démontrerons toul d'abord 1rs lemmes suivants :

Lemme 3. — Suit p un idéal premier diviseur de p et de degré/; on peul toujours

construire une fonction th.'-; u,, «., »,„ i de degré/ en x irréductible suivant o et

qui, lorsqu'on y remplace x par la forme fondamentale :. a les propriétés suivantes :

les coefficients des puissances el produits des u,, u. a,„ dans celle fonction sont

tous divisibles par p et ne le sont pas par \y\ et ifs ne sont pas tous divisibles par un idéal premier différent de p et diviseur de p.

Démonstration. — - Suit p = çea. a n'étant plus divisible par v. De plus. -,,it p une racine primitive de p qui a les propriétés indiquées par les théorèmes 29 el 3o, et soit P(p) une l'onction déterminée comme il a été dit. elle est entière à coefficients entiers de degré /, elle appartient à \> et telle que p = nj, Pi,:)).

l'i./ i esl irréductible suivant/), sans quoi p satisferait à une congruence suivant p de degré inférieur à/. Posons

où '/, ",„ sont des entiers rationnels, et nous admettrons que le coefficient de

a' dans P(p) est = i. Comme on a

d'après le théorème 27, on a aussi

c'est-à-dire que la congruence PU') = of|)) admet les /'racines incongrues

el un a identiquement

c'est-à-dire que les fonctions symétriques élémentaires de p, p'\ ..., p^-1 sont congrues suivanl p à certains nombres entiers rationnels.

Comme tout nombre entier du corps k est congru suivant p à une fonction entière à coefficients entiers de p, nous pouvons poser

?=i<p; m„ ...;.aj

suivant p. L fonction à coefficients entiers de p, ut, u.,. ..., um. D'après ce qu'on vient de lire, l'expression

[X - L(? ;«„..., uj][x - L(?" : u «„,)] ... [x - L(p"'- ; « uj]

esl congrue suivant p à une fonction entière à coefficients entiers de ./:, b4, u,, .... «,„: Huns la mettrons sous la forme

n ( x ; h, Uj = x' + Y, j/1 + . . . + V,

où Vt, ..., V. sinil des fonctions entières à coefficients entiers de ult (/, «,„. Il est

évident que ; mis à la place de x satisfait à

Comme la fonction U(x\ u{, ... , um) = P(x) suivant p, il en résulte que

i't que par suite les coefficients des puissances et produits de nt um dans

fl(;; », um) ne sont pas tous divisibles par ps et pas tous par un idéal premier

différent de p ci contenu dans o.

Lemme 'i. — Toute fonction entière $>(x; uf um) à coefficients entiers qui esl

identiquement congrue à o ipi lorsqu'on remplace ie par la forme fondamentale ; esl divisible suivant p par la fonction lli.<-; nt um i.

Démonstration. — Dans le cas contraire, 'I' el II n'aurai! pas de diviseur c m un

suivant p, el d'après le théorème 32 il > aurait une fonction I à coefficients entiers des suites variables o,. «,,. »,„ non congrue à zéro suivant /*. telle que

U = .VI> + H II suivant p.

A el I! étant des fonctions à coefficients entiers de .'■. ut, u u . D'après cela, en

remplaçant x par \, on aurait L = o suivant p el par suite suivant p. ce qui esl contraire à l'hypothèse.

Lemme ô. — Si '!> esl une fonction à coefficients entiers de .'■. u u qui devient

identiquement congrue à o suivant p' pour x = î, CI> esl divisible suivant p par IIe.

Démonstration. — Posons <I> = IIe' F suivant p ou e'<e et F une fonction à coefficients entiers de x, «,. «.,, — um qui n'est plus divisible par D suivant p: il en résulte que tous les coefficients des puissances el produits de ur ... , um dans

N:b, oJ|'F(M b.

sont divisibles par p". Ordonnons [\{l . u, </„,) F(;: </l um) par rapport aux

puissances décroissantes de ut et les coefficients des puissances de ut par rapport aux puissances décroissantes de u, et ainsi de suite. Suit z le premier coefficient dans 11 qui n'est pas divisible par p1 et en même temps par y. le premier coefficient de F qui n'est pas divisible par p, on aurait r/v. = o suivant pe, ce qui n'est pas possible; c'est-à-dire que tous les coefficients de F sont divisibles par p. et il en résulte d'après le lemme précédent que Fi.c: «,, ... , »,„) est encore divisible par Ili.r : ut um) suivant p. Ce qui est contraire à l'hypothèse.

S ii. — La décomposition di premier membre de l'éqi vim\ fondamentale. Le discriminant de l'équation fondamentale.

Des lemmes 3, '4 et 5, nous tirerons :

Théorème 33. — Si p décomposé en idéaux premiers donne p — p'p''... . ou a, pour le premier nombre de l'équation fondamentale au sens de la congruence suivant p.

3o D. HILBERT.

où II, II' représentent certaines fonctions irréductibles suivant p de x: ut, u, u,„:

de plus, on peut poser

F==nenV +pQ

où G est une fonction entière à coefficients entiers contenant les variables x ; ,î , ;; » . et qui n'est divisible suivant p par aucune des fonctions irréductibles II. Il' ...

Théorème 34. —-La congruence de degré m résultant de l'équation fondamentale

F(as; «, um) = o (p)

est la congruence de degré le moins élevée suivant p à laquelle satisfait la forme fondamentale ; mise à la place de x.

Démonstration. — Soit.<I> une fonction entière à coefficients entiers de x, ut. ut. .... u telle que ; satisfasse à <£(a;") = o suivant p. ; étant la forme fondamentale. De plus, soient p. p' ... les idéaux qui divisent /) de degrés respectifs/.,/' ... Si l'on forme la norme, on a pm = j/«+/'e'+-, c'est-à-dire m—fe +f'e' + ...

De plus, soient 11, 11' ... les fonctions irréductibles relatives aux idéaux p. p' ... qui ont été employées dans les lemmes précédentes. Du lemme (5) nous pouvons conclure que

* = nen"" ...v (p)

où W est une fonction entière. Comme II, II' sont de degrés/,/ ... en x, il en résulte que <I> est au moins de degré m, et cette circonstance nous donne, en prenant pour <I> le premier membre F de l'équation fondamentale, la première partie du théorème 33 et le théorème 34-

Si enfin G(x) était divisible par Q(x) suivant p. ; mis à la place de x satisferait à G(x)=o(p)et par suite ; satisferait à la congruence ll'i.n n.'e'(x)...==o suivant p'' '. ce qui n'est pas possible d'après le lemme (5), ce qui démontre la deuxième partie du théorème 33.

Les faits que nous venons d'établir entraînent une suite d'importants théorèmes relatifs aux discriminants.

Théorème 35. - Le plus grand facteur numérique du discriminant de l'équation fondamentale est égal au discriminant du corps.

Démonstration. — Posons

i=UM «,+ ... + U„„ (o,„, l = U„. (■), + . . . + I „„ w ,

THEORIE DES COKI'S DE NOMBRES AEliEBRIQUES.

où des UfJ sont des fonctions entières à coefficients entiers de at um. Si le déterminant l de ces m' fonctions étail une fonction donl tous le> coefficients sonl illisibles par p (nombre premier), il existerai! V, Ym fonctions entières à coefficients

entiers de u( um non congrues entre elles suivant p el telles que l'on ait identiquement en u, "„, :

V,U„+-..+V.U„sp. (/.)

par suite, la forme fondamentale ; satisferait à la congruence

Vt + V,5-r.... + V.r-t = o (p)

qui est de degré inférieur à /;/, ce qui est impossible d'après le tliéc irèine i ,'i'i i.

Il en résulte que l est une forme rationnelle unité. Les équations (a) el le théorème relatif à la multiplication des déterminants nous donnent

En élevant au carré </(;) = UV, tf(!;)~d où d(?) désigne le discriminant de l'équation fondamentale et d le discriminant du corps.

En résolvant les équations (2) on a le résultat suivant :

Théorème 30. — Tout nombre entier du corps k est égal à une fonction rationnelle entière de degré m — 1 de la forme fondamentale ; et les coefficients de cette fonction sont des fonctions entières à coefficients entiers des at, ..., um divisées par la forme unité U. [Kronecker16, Ilensel'.]

S ta. — Les éléments et la différente du corps. — Démonstration du théorème