RELATIF AUX DIVISEURS DU DISCRIMINANT DU CORPS

Le théorème 35 permet la décomposition du discriminant ddu corps en certains facteurs idéaux. Les m — 1 idéaux

c' = ( (li), — 0), ) . .... ((!),„ — w'm ) ,

c"=((ov— <), .... (u>„, — u>"„) . e"-'i=((Wl -<-•>), .... (u„, -<-"))

32 D. 1IILBERT.

seront dits les m — i éléments du corps k. Ce sont des idéaux qui, en général, ne font pas partie du corps /.■; mais le produit ti = c'c" ... c'"'-1' est un idéal du corps A". On expliquera plus loin comment certains idéaux d'un corps k peuvent être conçus aussi comme idéaux d'un corps plus élevé, car, si nous considérons que les éléments c' .... c"" "'" sont les contenus des formes % — £', ..., ; — ;""1), nous reconnaissons, d'après le théorème i3, que l'idéal î> est le contenu de la différente de la forme fondamentale, c'est-à-dire de

qui est. elle, une forme du corps k. Nous dirons que fc est la différente <hi corps ('). La norme de cet idéal est égal au plus grand facteur numérique du discriminant de la forme fondamentale, et, comme ce dernier est égal à d , on en conclut le théorème.

Théorème 37. — La norme de la différente d'un corps est égale au discriminant du corps.

De la congruenee

?F(œ) , sn ,, ,„„", sa'

— — = eir-' — ti" ... + e'n'n,f'-— -... + ... (/>)

Sx Sx Sx

il résulte de plus que la différente est toujours divisible par pe~' et qu'elle ne contient pas de puissance plus élevée de p, dès que l'exposant e est premier avec/). En passant à la norme, on voit que le discriminant d'un corps est toujours divisible par pfle-i)+ /'(«'— »)+-. > et qUe (\Q plus il ne contient pas /) à une puissance plus élevée, si tous les exposants e, e', ... sont premiers avec/); ceci démontre le théorème fondamental annoncé dès le début du paragraphe 10.

§ i3. — La formation des idéaux premiers. — Le diviseur numérique entier