DE LA FORME UNITÉ U

Le calcul effectif des idéaux premiers qui divisent un nombre premier rationnel/) peut être effectué d'après le paragraphe 33 en décomposant le premier nombre de l'équation fondamentale. 11 est bon cependant de savoir dans quelles circonstances il

csl permis de donner aux paramètres ur ut am des valeurs particulières. C'est

dans ce but que nous ferons les considérations suivantes.

On obtient les discriminants de tous les nombres entiers du corps en donnant dans I 'd à u, um toutes les valeurs entières et rationnelles. Il n'est pas nécessaire

Cl D'après Dedekind, L'idéal fondamental « das Grundideal ».

que le plus grand commun diviseur de ces discriminants soil d, car il peul i rès bien

se présenter le cas où la forme unité prend pour tous les u bres entiers de u a

une suite de valeurs ayanl un diviseur entier z|= i. C'est cela qui mel en pleine

lumière l'usage des indéterminées ut nm.

On trouve facilemenl une condition nécessaire el suffisante pour que le nombre premier rationnel p soil un diviseur entier de l : celle condition consiste en ce que U peul se mettre sous la forme

p\ +(uJ Ui)V,+ ... + «-uJVm

où V, Y. V sont des fonctions entières à coefficients entiers de u u

[Hensel '• *• 5.]

Si doue il esi possible de donner aux indéterminées b , u des valeurs numériques

entières rationnelles a, a, am telles que la forme unité de^ ienne un nombre non

ili\isihle par p. lorsqu'on voudra dée poser p on pourra particulariser l'équation

fondamentale en ce sens que la forme \ pourra être remplacée par a = a u> 4- ... + tti»wm •••■ El. en effet, sous les hypothèses que l'on a laites, el comme cela résulte du théorème 36j tout nombre entier u du corps est congru à une certaine fonction de a suivant /*. et c'est pourquoi une fonction entière à coefficients entiers de degré inférieur à m en x n'est jamais divisible par p si tous ses coefficients ne le sont.

Désignons les fonctions de la seule variable x résultant des fonctions U.(x; u a i,

li'(sc; b, bb1), ... par la substitution », = '7, l'm — ",„- désignons-les par

Pi.r), P'i.ç) nous reconnaîtrons que ces fonctions, au sens de la congruence

d'après p, sont des fonctions premières différentes les unes des autres et que

Et, en effet, si après avoir enlevé le facteur p, P(a) contenail encore un facteur contenu dansp soit p'. on aurait

jpwfjp'wf-1!^))"..., (p)

ce qui, d'après la remarque précédente, n'est pas possible, car nous avons là une congruence de degré inférieur à m en y..

Réciproquement on a le fait suivant : Si dans un corps on a p = pep'"' ... où p, p' ... sont des idéaux premiers différents de degrés f,f, ... et si à chacun de ces idéaux mi peul faire correspondre une fonction entière à coefficients entiers P(x), V'(.v'), ... de la seule variable x de degrés ,/',,/". ■•■ irréductibles suivant p et toutes différentes, on peut toujours trouver un nombre x = ", w, + ... + amwm tel que la valeur de U correspondant!1 ne suit pas divisible par p.

La non-existence de fonctions premières P(.r), P\x), ... dans le sens de la congruence suivant le nombre rationnel/), forme donc une nouvelle condition nécessaire et suffisante pour que p soit diviseur entier de U. [Dedekind '.]

Chacune des deux conditions trouvées dans ce paragraphe, et qui sont essentiellement différentes, peu! servir au calcul d'exemples numériques pour des corps algébriques, dans laquelle les l contiennent des fadeurs numériques entiers z|r i et répondant à la question. [Dedekind4, Rronecker16, Hensel1'2'8.]

Il faut cependant remarquer que la forme U perd la propriété de contenir des

diviseurs entiers, si l'on y fait prendre à ut, !/,„ les valeurs des nombres algébri-

ques entiers d'un corps choisis de telle sorte que tous les n'ombres ainsi représentés par U aient pour plus grand commun diviseur i.