CHAPITRE V

Le corps relatif.

S i4- — La norme relative, la différente relative et le discriminant relatif.

Les concepts de norme, de différente et de discriminant sont susceptibles d'une généralisation importante.

Si R est un corps de degré M, qui contient tous les nombres du corps k de degré m, k est dit un sous corps de K. Le corps Iv est dit le sur-corps ou le corps relatif par rapport à k. Soit 0 un nombre déterminant K. Parmi les équations en nombre infini à coefficients algébriques situés dans k auxquelles satisfait 0. soit l'équation de degré r (3) ©'•+a,0'-'+... + a.^o

celle de dcgn' le moins élevé; y.t ar sont alors des nombres déterminés de A';

r s'appelle le degré relatif du corps K. par rapport à k, <■[ on a M= rm. L'équation (3) est irréductible» dans le domaine de rationalité /,-. Si (->', .... 0(r il sont les r — i autres racines de L'équation (3), on dit que les /■ — î nombres algébriques sont les nombres relativement conjugués à 0, et les corps déterminés par 0'. ..., 01'-'1, K'K", .... K.1'-'1 sont dits les corps relativement conjugués à k. Soit A un nombre quelconque du corps K et

où y4, yt, ..., y,, sont des nombres dans k, les nombres

•v=ït + Y.e' + ... + y,. <=>"-'-

A"-', = Y, + Ys0,r-"+...Y,(©"'-,,r'

sont dits issus de \. par les substitutions T"=(0:0') T '' = ifl :<->"' ' i, < ncore

les nombres relativement conjugués à \- Si L'on applique la substitution T'a Imis 1rs nombres d'un idéal 3, on obtienl un idéal 3' qui est L'idéal is--u de J par la sulislitution T' ou l'idéal relativemenl conjugué à 3.

Soient x x, des nombres quelconques dans k el soitj = (a, xj l'idéal

que ces nombres déterminenl dans k, ces mêmes nombres déterminenl un idéal 3 = (a , x,) dans K. Cel idéal Ô ne doit pas rire considéré comme différenl de j.

Le théorème qui va suivre nous permel de considérer (a, x,) à la fois comme

un idéal dans k et dans K.

Si a, a,..., a et "â° a" sont des entiers dans k tels que dans l\ les idéaux

3 = (a , ... , a,), 3° = (a'1' x°) coïncident, dans k les deux idéaux j-=(v1 x,),

jo = (x° x°) coïncident aussi. En effet, par suite de l'hypothèse, si -/' <^i un des

m un lues y." x°, on a x° = A,?., + ... + A,as, où V, A, su ni certains nombres

entiers dans K. Si nu us l'urinons la norme relative de chacune de ces-deux expressions, nous reconnaissons que, dans /,-, x° doil être divisible par j'': par suite, dans /,-. x" esl divisible par j et par suite aussi j" est divisible par j. Connue, d'autre part, on peut démontrer la réciproque, il faut que dans ce cas j = j°.

Au contraire, un idéal 3 = ( V, As du corps K ne sera un idéal j du corps k

cpie si 3 est diviseur commun de certains nombres x,, .... x( du corps k.

Le produit d'un nombre A par tous ses conjugués relatifs

\,( \i = AA'... A"— '

est dit la norme relative du nombre A par rapport au corps fcou dans Le domaine de rationalité k. La norme relative \ esl un nombre de k.

Soit 3 = (At, ..., As) un idéal quelconque dans K, le produit de 3 par tous les idéaux relativement conjugués