VJ

est la norme relative de 3. La norme relative \i3) est un idéal du corps k. Car si U, L\ désignent îles indéterminées, les coefficients du produit

(AXU, + ... + asuj(a;u1+ . . . + a;uj . ■ • (A^'-'u, + . . . + Ar »US)

sont des nombres entiers dans k, dont le [dus grand diviseur coïncide avec ce produit d'idéaux d'après le théorème i3.

L'expression

AA(A) = (A-A')(A- V",...iV-A"-")

représente un nombre- du corps K. et se nomme la différente relative <lu nombre V par rapport à fe. L'expression

Dt(A) = ( A — A')a(A — A")'2 • • ■ (A(M| — A"'-" r

est de discriminant relatif du nombre A. Ce discriminant est égal au signe près, à la norme relative de la différente relative de A; car on a

Dt(A) = (-i)L^~N,(\).

Si 0, QM sont les M nombres de la base du corps K, l'idéal que l'on obtient

en faisant le produit des r — i éléments

<r= ((0,-0;), •■•» (Om-Qm)),

©"■-'^((o.-or'), ..., (oM-or")),

c'est-à-dire

est la différente relative du corps K par rapport à k. Si l'on désigne par

la forme fondamentale de K. la différente relative de 3 est

At(S) = (Z-Z')...(S-Z("-").

Les coefficients de cette forme sont des nombres du corps K, et comme d'après le théorème i3 leur plus grand commun diviseur est la différente relative ©t. ©t est un idéal du corps K.

Le carré du plus grand commun diviseur de tous les déterminants à /• lignes de la matrice

rv rv

s'appelle le discriminant relatif Dk du corps K relatif à k; ce discriminant, on le voit facilement, est un idéal du corps k.

$ i.">. — l'iini'niKi Y: s ni; la meféuen te relative et du discriminant relatif d'en coups.

Pour les concepts que l'on \ ient de définir, on a les théorèmes suivants [llilbcrt3] :

Théorème 38. — Le discriminant relatif du corps K. par rapport au sous-corps k est égal à la norme relative de la différente relative de K. c'est-à-dire

Dt=NA.(©,).

THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. .'iy

Démonstration. — La nonne relative de la différente relative de la forme fondamentale Z est

\(a,<Zi) =±(Sr Z'nZ - ZV . . . (S"-' - Z"-1)' i. Z' 1Z'1' '

D'autre part, le carré du déterminant est une forme du corps k demi le contenu est égal au discriminant relatif Dr Car si nous exprimons les termes de ce déterminant en fonction linéaire de û, QM et de leurs conjugués dans le corps k, où

les coefficients de ces expressions sont des fonctions entières à coefficients entiers de

l, LM, nous reconnaîtrons ([ne le carré de ce déterminant n'a que des coefficients

divisibles par Dt.

Réciproquement, une généralisation du théorème 36 nous montre que chaque déterminant à r lignes de la matrice (4) multipliée par la /'ème puissance d'une certaine forme unitaire rationnelle des paramètres U, UM est divisible par le produit

Il en résulte que XAÏAt(Z)) ~ DA .

Théorème 39. — Si D et </ désignent le discriminant du sur-corps k et du souscorps k, et si l'on désigne par n(Dt) la norme du discriminant relatif Dk pris dans le corps k, on a

D = <f/i(Di).

Démonstration. — Si ;=(!),«, + ... + u>miim est la forme fondamentale du corps k, Z mis à la place de X satisfait à une équation de degré r en X de la forme

où <I'l 'I>r sont des fonctions entières à coefficients entiers de ; et des indéterminées ut, .... !(,„, U, , ..., UM , et où <I>0 est une forme unitaire rationnelle des indéterminées a,. .... ulu. Les autres racines de l'équation de degré dont nous venons de parler sont X = Z', .... Z('~". Soit donc ;"'' une des m — 1 formes fondamentales

conjuguées à ;, et soient Z(/I), Z(',0 Zj^" l''s racines de l'équation de degré r,

«I> ( V. £'*') = o. Comme ; satisfait à une équation de degré M, il est évident que toute puissance de Z multipliée par une puissance de <!>,, est égale à une fonction entière de | et de Z, qui est au plus de degré m — 1 en ; et au plus de degré r — 1 en Z et dont les coefficients sont des fonctions entières à coefficients entiers des paramètres

I). I1ILISERT.

ut um, U,, ...,UM. D'après cela, le discriminant de la forme fondamentale Z,

multiplié par une puissance de '\\, est divisible par le carré du déterminant à M=rm lignes

rm — i *;»( — i — r — i

Dans ce schéma, nous n'avons écrit cpie les r premières lignes horizontales; on obtiendra les (m — i)r autres en donnant successivement aux lettres ; le signe (/m = (i). ■•■. (ni — i) comme indices supérieurs et à toutes les lettres Z les mêmes signes comme indices inférieurs.

Si l'on exprime les éléments du déterminant A en fonction linéaire des nombres de la base, on reconnaît l'exactitude de la formule

où F est une fonction entière à coefficients entiers des paramètres il,, ..., »,„, U,, ..., Um. Mais comme le facteur numérique du discriminant de Z d'après le théorème 35 = D, il résulte du développement précédent que réciproquement D est divisible par le facteur numérique du carré de A. c'est-à-dire que le facteur numérique de A2 est égal à D. Par les théorèmes élémentaires de la théorie des déterminantes, on ublienl l'identité

Mm — l) /£{m—l)\m—i