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ce qui donne immédiatement le théorème 3g.

Le théorème démontré à l'instant ne n tre pas seulement que le déterminant

d'un corps est divisible par le discriminant de tout sous-corps, mais il indique la puissance de ce dernier qui est contenue dans le discriminant du sur-corps, et il donne la signification simple du facteur restant dans le déterminani du sur-corps.

THÉOIUE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. .'"><)

S iti. — La décomposi nos û'in élémeni di ci »rps k daks le si r-corps K

l.i: rHÉORÈME SI H i \ DIFFÉRENTE m M R-CORPS K.

Théorème lo. — 'l'ouï élémenl du sous-corps /»• est égal à un produit de r certains éléments du sur-corps K. el on a les formules

' ■> •=■< — — |/iim— —i/,!r- •■'— — [h) l-^1 — — (;,iM— — 1/„ ' • ■ ■ ' — — ,,„>•

Démonstration. — Soit

l-'i V = V - F, V'-' -r . . . + KM = o

l'équation fondamentale de degré M du corps k. où F, FM sonl des fonctions

entières à coefficients entiers des U, I M . on a identiquement

<l<:i''i\>=-'lM\.;>'I'i\.;V..'lM\.r'-ni.

La différente de la forme fondamentale Z esl donc représentée par la formule

en vertu de '1m Z, Ç) = o.

Mais on a d'une part

(5) 'J'.z, ;"") = 'i>jz-z(/,1)«z-z;/„)...(z-z;;,l' .

[h = i. !,.. . m — il

et d'autre part

(6) <I>(Z. ;""i = 'ImZ. ;'*'>- 'I-iZ. ;i = (; — ;"°)G"" '

où G(/'' représente une forme algébrique entière : il résulte de ces formules que

èFiTi Mmt -) ,],'" = Z' ^ (l ;')••• U — c""~")G' ... G""-".

Comme — — - représente la différente relative de S. il résulte, d'après le

théorème i3 de la dernière formule, que

(7) © = ©tJ>3

représente l'idéal égal au contenu de la forme G' (I""-1'.

En passant aux normes

D = «(Dt)rf N 3)

et, par suite, d'après le théorème 3o. \(3) = i, c'est-à-dire 3= i. Les formes G, G1'"" " sont donc toutes des formes unités, et les formules (5) et (6) démontrent notre théorème 4o.

/tO D. HILBERT.

Le théorème 4o donne la décomposition des éléments du corps k dans le surcorps k : il est le théorème fondamental de la théorie des discriminants. La formule (7) nous fournit de plus l'important fait suivant :

Théorème 4'i. — La différente © du corps K est égale au produit de la différente relative X\ de k par rapport au sous-corps k et la différente fc du corps k, c'est-à-dire

On voit quel rapport simple existe entre les différentes.

La différente du corps supérieur s'obtient en multipliant la différente du corps inférieur par la différente relative correspondante.