V CERTAINES INÉGALITÉS

Nous avons établi au chapitre II les lois de la divisibilité des nombres d'un corps algébrique, nous allons établir maintenant des vérités fondées avant tout sur l'idée de grandeur. C'est le théorème de [Minkowski3] qui va nous fournir le moyen le plus puissant dans ces recherches; il s'énonce ainsi :

Lemme G. — Soit

;// formes linéaires el homogènes de ut ;u,„ à coefficients réels quelconques et de

déterminant égal à 1 ; on peut déterminer pour ut, ».,, ..., um des valeurs entières el

rationnelles qui ne sont pas toutes nulles telles que les m formes/, fm soient

toutes en valeur absolue <^ 1.

Ce théorème, légèrement transformé, nous donne :

Lemme 7. Soient /,,/,, /„, '" formes linéaires el homogènes de ur ut um

à coefficients réels quelconques avec un déterminant positif \. e1 soienl ■/,, y.4, y.3 /.,„

m constantes quelc rues positives donl le produil est égal à V. on peul toujours

déterminer m valeurs entières el rationnelles pour b4, ", ",„ qui ne sonl pas

toutes milles et telles que

Dans ce chapitre, nous désignerons le corps fc <•( 1rs m — i conjuguées par fr — liM , A-'"1 A""', el nous désignerons les m nombres de bases du corps fc"'1 par

"Vins appliquerons le lemme 7 pour démontrer le

Théorème 4a. — goienl ■/.,. x,, ..., ■/.,„ m constantes positives quelconques donl le produit est égal à yd, el qui satisfont aux conditions •/., — /.,■ dans le cas où A-"1 el A"'' sont deux corps imaginaires conjugués, il y a toujours dans le corps k un nombre entier différent de zéro «> tel que

Démonstration. -■ Nous attribuerons aux corps AJ'\ fc(,) A'"" certaines formes

linéaires, el nous nous placerons au point de vue suivant. Si A1'1 esl un corps réel. nous lui attribuerons la forme réelle

si A1'1 est un corps imaginaire et si A'1''1 est son imaginaire conjugué, nous attribuerons aux deux corps A,v) et A1"'1 les deux formes linéaires

yj-i

ft=J-Uu«+ B«r*T) ot + . . . + «' + »«? > h„

dont les coefficients sont réels. Le déterminant de ces m formes pris en valeur absolue = \\/d\- Le lemme 7 apporte immédiatement la preuve de notre affirmation si l'on remarque que

11 résulte de là, en outre, le

Théorème 43. — Le degré m et la constante positive ■/. étant donnés, il u'\ a qu'un nombre limité de nombres entiers algébriques de degré m, qui, avec leurs conjugués. sont tous <C /. en valeur absolue.

Démonstration. — Les m coefficients entiers de l'équation à laquelle satisfait un pareil nombre sont tous inférieurs à une limite qui ne dépend que de m el de y. : leur nombre est donc limité.

§ 18. — Théorèmes relatifs a la valeur absolue m discriminant du corps.

Théorème 44- — Le discriminant d d'un corps A' n'est jamais égal à + i. [Minkowski4-5'3.]

Théorème 45. — Il n'y a qu'un nombre fini de corps de degré m et de discriminant donné il. [Hermile '•-. Minkowski3.] Nous démontrerons d'abord le

Lemme 8. — Soient /,./,. ■■-,/„, les m formes réelles linéaires définies par les

formules (8) des variables ur u, um, il y a toujours dans le corps un nombre

entier différent de zéro a = alu>l + ... -f- amu>m tel cpie les valeurs absolues de ces formes pour ul = al ... um±==am satisfassent aux conditions

(9) l/.KlvM. I/.I<i. I/,I<i. •••• l/«l<i-

Démonstration. — D'après le théorème 43. il n'y a qu'un nombre fini de nombres a. i, y.,. ... du corps k satisfaisant à

\fi\<Wd\ + i. |/.|<i |/J<i.

Soit a parmi ces nombres celui qui donne à \J\\ la plus petite valeur et soit <p cette plus petite valeur. S'il n'existait pas de pareil nombre, on poserait s = \yd\ + i. Si m -^lv/^1 1° théorème esl évident. Dans le premier cas, nous déterminerons un nombre positif î tel que (i + s)'"-' | y il \ < o. D'après le lemme 7, il y a toujours un système d'entiers rationnels ut, ... , um tels que

|/,K(i + 6)H-\/rfI. I/.I<7^- •••■ l/J<7^.

et par suite

ce qui est contraire à l'hypothèse qui nous a fait choisir x.

Pour démontrer dès lors les théorèmes 44 et 45, nous procéderons ainsi. Si A=/.-'" est un corps réel, la forme/, est parfaitement déterminée; si kM est corps imaginaire et kM son corps imaginaire conjugué, nous pouvons choisir pour/, entre deux formes; nous prendrons

/l — Fil1". Wi ) «, + ••■+ tW„, — W,„ >»,„(•

La suite dans laquelle nous adopterons les autres formes/, J m n'importe pas.

Le lemme S nous montre l'existence d'un nombre y. satisfaisant aux conditions (9).

tiikokii: di:s CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES.

D'au lie pari