III/,.III
comme on a nécessairement |n(a)| ^>- i, il en résulte |/,| >i, el par suite | \.'/| > i. Le théorème 44 est démontré.
Il résulte, d'autre pari, des inégalités |/, | > i, |/,| < i. |/J < i, \J'm\ < i, que x est un nombre du corps k±=kM qui diffère de tous ses conjugués, c'est-à-dire que la
différente 8(*)=|=o. D'après une remarque faite précédemment, y. esl un i bre qui
détermine le corps k.
D'autre part, connue il est un nombre donné, on voit, d'après le théorème i3, qu'il n'y a qu'un nombre limité de nombres entiers algébriques de degré m, qui, avec leurs conjugués, satisfont aux conditions (9), ce qui nous démontre immédiatement le théorème 45.
Le théorème 4'i exprime une propriété essentielle des corps algébriques : il nu m Ire que le discriminant de tout corps contient au moins un nombre premier.
En employant au lieu du lemme 6 un théorème plus profond dû également à Minkowski, le même raisonnement nous aurait montré que le discriminant d'un
— el a plus
corps de degré m dépasse certainement en valeur absolue (
forte raison
zi'a (,
où r, désigne le nombre de couples de corps imaginaires
qui se trouvent parmi A'*'1 k . \ Minkowski '>-- :t.]
Ce dernier fait, appliqué de la même manière, montre que parmi les corps de tous les degrés possibles il n'y en a qu'un nombre limité ayant un discriminant donné il.
De ces mêmes principes, nous tirerons encore une conséquence très importante pour le chapitre vu. [Minkowski '•'.]
Théorème 46. — Soit a un idéal donné du corps k, il y a toujours un nombre x du corps différent de o divisible par a et tel que
|/iû)|<U(a)v/</|.
Démonstration. — Soient
',„="„,.'•',+ ■■• +ammtùm
les m nombres de base de l'idéal a ; formons comme nous l'avons fait précédemment, au moyen de w, io,„, m formes linéaires /' /'„, à coefficients réels; la valeur du
•J 1 III tr 1 * ' 4/ lit
déterminant de ces m formes sera
wm' ' in in
u; '. • ■• , «om
qui, d'après le théorème 19, égale en valeur absolue [n(a)y/a|. Si maintenant nous
attribuons aux m formes/,, /, , ... , /„, l'une des constantes réelles ■/.,, x, •/.,„ dont
le produit = | n{a)\/d \ el qui satisfont aux conditions %t=.%j dans le cas où km et A'1"1 sont des corps imaginaires conjugués, le théorème 4G résulte du théorème 42.
<i 19. — Le théorème qui prouve l'existence des unités du corps. — Un théorème
Al XILIAIRE Al SUJET D'UNE UNITÉ POSSÉDANT UNE PROPRIÉTÉ PARTICULIÈRE.
Le théorè qui va suivre, relatif aux unités du corps k, nous donne la base fondamentale d'une étude plus approfondie des nombres entiers algébriques.
Mais tout d'abord nous appellerons unité du corps /.• tout nombre entier e dont la
valeur inverse - est encore un nombre entier, La norme d'une unité = -t- 1, et, réci-
proquernent, si la norme d'un entier du corps =-t- 1, ce nombre est une unité du corps.
Théorème 47- — Supposons que pu nui les m corps conjugues kM, ... , A'1'"' il y ait i\
corps rccls et r = ■ corps imaginaires conjugués . le corps k = kM contient un
système de r==rt + /■„ — 1 unités s, s.r telles que loule outre unité du corps peut
être mise sous Informe e = pî"' ... 1"' et relu 'l'une seule manière, a,, ..., ar étant des nombres entiers rationnels et p une racine de l'unité située dans k.
Tour préparer la démonstration de ce théorème, nous ordonnerons les m corps conjugués A''1 A-1'"' de la façon suivante :
Nous écrirons d'abord les ri corps réels ku) A1'1, puis nous prendrons un corps
de chaque coupl'e de corps imaginaires conjugués A1''' '', ..., k{r< " ~r*' , et nous ferons
suivre ces derniers de leurs corps conjugués k,r< "'= " A'"'1. Nous formerons,
avec m variables réelles quelconques B,, h,, ..., (;„,, les/» formes linéaires
et nous écrirons £, = ?. Si ;,, ..., ;,„ sont tous =|= o, nous poserons, dans le cas de kM réel :
iog|5,| = /.(S).
et dans le cas où Alv| et A'1'1 sont des corps imaginaires conjugués :
logtf.) = K<$ ril,.(\).
où /,(?), ..., /,„(;) sont tous des grandeurs réelles et où en particulier les formes /,-(5) satisfont à
les grandeurs lt(£) '«(9 ""' donc une détermination unique en fonction des
variables réelles ut, », um, nous les appellerons logarithmes de la/orme -. De plus,
si l'on désigne par ///( |) la partie réelle du logarithme de n(E)> "" ;1
Si u »„, sont des en tiers ratii mnels qui ne sont pas tous nuls, r = ;, représente un nombre i =|= o du corps k = kM. Les grandeurs /,(£) Ij'zi son! alors
parfaitement déterminées par y. et nous les nommerons les logarithmes du nombre x.
Si £ est une unité du corps k, on a en vertu de n(s) = -H- 1 :
Par contre, les logarithmes /,(?), .... /,„i;i aous donnent pour les variables
a,, »... .... um ■/' valeurs, car les i\ valeurs réelles jjt, ;, ; ne sont déterminées
qu'au signe près, tandis que les valeurs imaginaires conjuguées ; , :m sont
parfaitement déterminées.
Nous aurons à nous servir du déterminant fonctionnel de ces relations; nous désignerons le déterminant fonctionnel des fonctions /,. J\ fm des variables x ,
X, œmPar " — "
On a entre les valeurs absolues les relations
et en multipliant ces deux relations nous aurons
..,ljl)
Dans ce qui suit, nous considérerons surtout les r premiers logarithmes de la forme : ou du nombre a. Pour ces r premiers logarithmes, on a évidemment
UVr.) = Ijz) + IJr,) ) fé(«P) = *,(*) + /,(?)
Nous démontrerons dès lors le
Lemme c). — 11 y a toujours dans le corps k une unité s qui satisfait à
ri/,u) + ...+vr/r(eH=o
où Yi- ïs' •••'T, son' c'cs constantes réelles quelconques données qui ne sont pas toutes nulles.
D. IIILBERT.
Démonstration. — Soit co un nombre quelconque du corps qui n'est pas nul ; posons pour abréger
L(M)=>,ït(u) + ... +Y,', («■>):
déterminons ensuite un système de ;• grandeurs réelles telles que y,\ + ••■ + fr\ = i,
et posons
où £ représente un paramètre arbitraire.
Nous distinguerons deux cas suivant que les m corps conjugués kM fr,ml sont
réels ou non. Dans le premier cas, nous attribuerons aux r = m — i corps fc'1' k<r)
les grandeurs A,, ..., A et au dernier corps /i,m) la constante
Dans le second cas. nous attribuerons aux corps kM, . .., A''' les grandeurs A, \,.
et au corps imaginaire /.■'' ' '' nous ferons correspondre
Sfd' i
Enfin, aux m — r — i corps imaginaires qui restent /f(r"1"*1, .... A•,"',, nous ferons correspondre les mêmes constantes que celles qui correspondent déjà à leurs conjugués, nous désignerons ces constantes par Ar+!, .... A,„.
Dans les deux cas
et les constantes A,, ..., A„, remplissent les conditions imposées aux constantes
•/.,, y.,, •/.,„ du théorème 42.
Il y a donc, suivant ce théorème 42, un nombre % du corps k différent de zéro et lel que
(10) l*wl«A„ .... I*MK-V„,
et par suite tel que | n(a) | -^ | \/d\. Mais comme |/i(a)|^>r, on a pour toutes les valeurs de s = 1, 2, ... , m
wl>
si donc nous tenons compte de
."-"lia" "lia""'!
et de
\s...\m=Wd\
THEORIE DES COUPS DE NOMBRES ALGEBRInl I S.
il en résulte
kwl>
\\ÏÏ\
Désignons la valeur réelle de log | \/il\ par î, ( 10) et (i i) nnus donnenl
OU <)< | / , ( a ) — Vi-^ aS
On voit donc que l'expression
est comprise entre deux limites finies ot et 2a>2,. qui ne dépendent que de d et des valeurs y( •-.. mais qui de dépendent pas de la valeur du paramètre /.
Soit une grandeur A > 3, — 5, et donnons à / successivement les valeurs / = o,
A, 2A, 3A on obtiendra une suite infinie de nombres a, |i, y dont les normes
prises en valeur absolue sont -^|y/'/| et qui de plus satisfont aux conditions b -,)< Lt fi) <L( -,)<....
Comme les nombres rationnels qui en valeur absolue sont -^ | y (l\ ne contiennent qu'un nombre fini d'idéaux différents en facteur, la suite illimitée d'idéaux principaux (a), (3), (y), ... ne peut contenir qu'un nombre limité d'idéaux différents, et par suite on trouvera une infinité de fois dans cette suite deux idéaux égaux. Soit, par
exemple (a) = (3), alors z = - est une unité, et cette unité, a cause de
L(e) = L(8) — L(a)>o, remplit les conditions du leniine q. ■
§ ao. — Démonstration de l'existence des i nui'-.
Pour démontrer dès lors le théorème h~, nous choisirons dans k une unité t\t conforme au lemme g, telle que /i(y;c)^j=o, et ensuite une unité r,, telle que le déterminant
ensuite une unité rl3 telle que le déterminant
KM. ',(*),)> iJ:0 '.'V- WnO. KM tOO. /,w. /,(*„)
et ainsi de suite, on parvient ainsi finalement au déterminant
/.U) hM
Par suite, si II est une unité quelconque du corps, les r premiers logarithmes peinent toujours être mis sous la forme
/,(H) = (.,/,(Yl,) + ...+e,./1(-n,.),
/r(H) = e.^Oi,) + ...+ep/p(7|r)
où e , c;. sont des grandeurs réelles. Cette représentation montre à son tour que
l'on peut écrire
/. < 1 1 ) = rV.Ou) 4- • • • + "',/,(v) + E, .
/,( Il 1 = »,,/^,,)+... +7»,. /..(y,,.) + E„
où /h m sont les plus grandes valeurs numériques rationnelles entières contenues dans e . ..., er. Les nombres E,, ..., E,, sont à leur tour de la forme
Er=v.ilr(ril)+... + i>.rlr (ti,.).
Comme ici a, , . . . , ;.*.,. sont des valeurs réelles ^ o et < i , les valeurs E, Er
prises en valeur absolue sont inférieures à une limite y. qui ne dépend pas de II, c'est-à-dire que les r premiers logarithmes de l'unité
"1, ■•■7lr
siuil tous inférieurs à la limite •/.. Mais comme
Z1(H)-4-,..+Zr+1(H) = o.
la valeur absolue de /,....,( II) est inférieure à ;-/., et on a les inégalités
|H,,,||<e", ..., |HW|<«*, \Wr+l)\<Jir",
c'est-à-dire que toutes les valeurs conjuguées de l'unité II sont, en valeur absolue, inférieures à er*.
D'après le théorème i3, il n'existe qu'un nombre limité de pareilles unités. Désignons-les par II,, II,,: il en résultera II = Ils ou II = HSV"' ■ ■ ■ \"r où S est l'un
îles nombres i, a ('■• Soil II, l'une quelconque des unités II, II,; et for-
THÉORIE l>i:s CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQ1 I S. '|i|
nions les G+i premières puissances de II,: d'après ce qui vienl d'être dit, deux quelconques de ces puissances pourront être mises sous la forme
Hs-tf
et
où Hs représente chaque fois ta même de ces (! unités; leur quotient pourra donc
être mis sous la forme '',"''••• v' • Nous avons donc démontré qu'à toute unité II1
correspond un exposant MT tel que M,1 soit un produit de puissance des unités
r,., . . . , 7jr. Soit M le plus petit nrultiplç commun des composants II, Il, . cet
exposant G aura la même propriété pour toutes les (i unités 1 1 1 II,.. el il en
résultera que les r premiers logarithmes d'une unité quelconque II admettent la
représentation
/ il,. »',W+--- +»',/,"„■ 1 M
où ni mr sont des nombres entiers rationnels.
En appliquant dès lors à ce système illimité de logarithmes de toutes les unités du corps le raisonnement appliqué paragraphe 3 pour le théorème (5) relatif à l'existence de la base du corps, on arrive au résultat suivant. Il y a un système de r unités e , ..., e telle que les logarithmes d'une unité quelconque II du corps puisse s'exprimer par
f,(H) = a,Zi(0 + ... + <M.(0.
f,(H)=. a.I,(0 + •■■+<*, Jr(0 où a , .... ar sont des entiers rationnels. Le système d'unités e, =r satisfait aux
conditions du théorème !\- .
En effet : Soit II une unité quelconque, dont les logarithmes ont la forme précédente. ==? est une imité dont les logarithmes sont évidemment tous nuls.
£','• • • • <"" Une telle unité p est nécessairement une racine de l'unité; car, d'après ce qui a été
démontré. sM =z -<•,'"' . .. y,"''' où m, mr sont certains nombres entiers rationnels.
En passant aux logarithmes on voit que
